Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 460 стр.

TELXNOSTX f : N ! Q NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ, ESLI
        8" > 0 (" 2 Q) 9N 2 N 8n > N 8p 2 N (jf (n + p) , f (n)j < "):
nETRUDNO WIDETX, ^TO FUNDAMENTALXNYMI QWLQ@TSQ WSE SHODQ]IESQ POSLE-
DOWATELXNOSTI. o^ENX SU]ESTWENNO, ^TO OBRATNOE UTWERVDENIE UVE NEWERNO:
SU]ESTWU@T FUNDAMENTALXNYE POSLEDOWATELXNOSTI W Q, KOTORYE NE SHODQTSQ
NI K ODNOMU RACIONALXNOMU ^ISLU (SM. NIVE P. 18). dLQ SHODQ]IHSQ POSLEDO-
WATELXNOSTEJ W Q IME@T MESTO OBY^NYE ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA. aNALOGI
\TIH SWOJSTW IME@T MESTO I DLQ FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ W Q
(IH DOKAZATELXSTWO QWLQETSQ RUTINNYM POWTORENIEM SOOTWETSTWU@]IH RAS-
SUVDENIJ DLQ OB]IH ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ).
   13. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f FUNDAMENTALXNA, TO ONA OGRANI^ENA.

   14. eSLI POSLEDOWATELXNOSTI f I g FUNDAMENTALXNY, TO FUNDAMENTALX-
NYMI QWLQ@TSQ POSLEDOWATELXNOSTI f  g; f 
 g.
   15. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f FUNDAMENTALXNA I NE SHODITSQ K 0, TO
I POSLEDOWATELXNOSTX 1=f FUNDAMENTALXNA.
   16. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f NE WOZRASTAET I OGRANI^ENA SNIZU, TO
ONA FUNDAMENTALXNA.
   17. z A M E ^ A N I E. w \TOM PRILOVENII PRI RASSMOTRENII ^ASTNOGO DWUH
POSLEDOWATELXNOSTEJ f=g NE ISKL@^AETSQ, ^TO g(n) = 0 DLQ NEKOTORYH n. dLQ
TAKIH n RAZRE[AETSQ S^ITATX ^ISLA (f=g)(n) PROIZWOLXNYMI.
   18. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f W Q, ZA-
DANNAQ RAWENSTWAMI f (1) = 2; f (n + 1) = 12 (f (n) + f (2n) ) (n  1), QWLQETSQ
FUNDAMENTALXNOJ, NO NE SHODITSQ K RACIONALXNOMU ^ISLU. fuBEDITESX, ^TO f
NE WOZRASTAET I OGRANI^ENA SNIZU, U^TITE P. 16 I WOSPOLXZUJTESX ARIFMETI-
^ESKIMI SWOJSTWAMI SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. g
   19. pUSTX  | MNOVESTWO WSEH FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ W
Q. oTNO[ENIE , ZADANNOE SWOJSTWOM: (f; g ), ESLI (f , g )(n) ! 0 (n ! 1),
| QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI W . tAKIM OBRAZOM, \LEMENTY MNO-
VESTWA = QWLQ@TSQ POPARNO RAZLI^NYMI KLASSAMI (f )(f 2 ). w KA^ESTWE
MNOVESTWA R DEJSTWITELXNYH ^ISEL WOZXMEM FAKTOR-MNOVESTWO =. oPREDE-
LIM W = OPERACII (+) I (
):
                 (f ) + (g)  (f + g ); (f ) 
 (g )  (f 
 g ):
w SILU P. 14 \TI OPREDELENIQ KORREKTNY. sMEVNYJ KLASS, OBRAZOWANNYJ PO-
SLEDOWATELXNOSTQMI, SHODQ]IMISQ K ^ISLU q 2 Q, NAZOWEM -RACIONALXNYM
                                      460