Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

    u P R A V N E N I Q. 4. u MONOTONNOJ FUNKCII TO^KI RAZRYWA MOGUT
BYTX TOLXKO 1-GO RODA.
    5. fUNKCIQ rIMANA R(x) OPREDELENA SOGLA[ENIQMI: R(0) = 0, R(x) =
0 PRI IRRACIONALXNOM x, R(p=q) = 1=q, ESLI p 2 Znf0g; q 2 N I p=q |
NESOKRATIMAQ DROBX. pOKAZATX, ^TO R(x) NEPRERYWNA W IRRACIONALXNYH
TO^KAH I TOLXKO W NIH. kAKOGO RODA TO^KI RAZRYWA \TOJ FUNKCII?
    x24. sWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE
    1. wY[E MY IZU^ILI LOKALXNYE SWOJSTWA (TO ESTX SWOJSTWA, SWQZAN-
NYE S POWEDENIEM FUNKCII W MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI IZ OBLASTI OPRE-
DELENIQ) NEPRERYWNOJ FUNKCII. oTMETIM, ^TO I SAMO PONQTIE NEPRERYW-
NOSTI FUNKCII W TO^KE QWLQETSQ LOKALXNYM SWOJSTWOM. tEM BOLEE PRIME-
^ATELXNO, ^TO DLQ OPREDELENNOGO KLASSA ^ISLOWYH MNOVESTW MOVNO GOWO-
RITX O GLOBALXNYH SWOJSTWAH NEPRERYWNYH FUNKCIJ (TO ESTX SWOJSTWAH,
SWQZANNYH S POWEDENIEM FUNKCII NA WSEJ OBLASTI EE OPREDELENIQ). pOKA
MY OGRANI^IMSQ IZU^ENIEM GLOBALXNYH SWOJSTW NEPRERYWNYH FUNKCIJ,
ZADANNYH NA OTREZKE.
    2. pUSTX f : [a; b] ! R NEPRERYWNA. tOGDA

  (A) FUNKCIQ f OGRANI^ENA,
  (B) FUNKCIQ f DOSTIGAET SWOIH GRANEJ (TO ESTX SU]ESTWU@T c; d 2
      [a; b] TAKIE, ^TO f (c) = sup f (x); f (d) = x2inf
                                                      [a;b]
                                                            f (x)),
                              x2[a;b]
  (W) ESLI ^ISLA f (a) 6= 0; f (b) 6= 0 IME@T RAZNYE ZNAKI, TO SU]ESTWUET
       c 2 (a; b) TAKOE, ^TO f (c) = 0,
  (G) ESLI f (a) < < f (b), TO NAJDETSQ c 2 (a; b) TAKOE, ^TO f (c) = .
 (A). pUSTX, NAPROTIW, 8n 9xn 2 [a; b] (jf (xn)j > n). pOSLEDOWATELX-
NOSTX (xn) SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (xnk ); xnk ! c
(SM. 11.1). sLEDOWATELXNO f (xnk ) ! f (c), NO \TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO
jf (xnk )j > nk (k 2 N).
    (B). pO SWOJSTWU (A) SU]ESTWUET = sup f (x). pUSTX xn 2 [a; b] TA-
                                             x2[a;b]
                  1
KOWY, ^TO , n < f (xn )  (n 2 N) I (xnk ) | SHODQ]AQSQ PODPOSLEDO-

                                    48

Страницы