Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 49 стр.

WATELXNOSTX: xnk ! c. tOGDA
            , n1 < f (xnk )  (k 2 N); f (xnk ) ! f (c) (k ! 1):
                k
oTS@DA PO SWOJSTWU 10.2 = f (c).
     (W). pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI f (a) > 0; f (b) < 0 I F = fx 2 [a; b] j
f (y) > 0; y 2 [a; x]g. mNOVESTWO F =  6 ; (NAPRIMER, a 2 F ) I OGRANI^ENO.
pO\TOMU (SM. x6) SU]ESTWUET c = sup F . tO^KA c ISKOMAQ: NERAWENSTWO
f (c) > 0 PROTIWORE^IT (W SILU 22.4) TOMU, ^TO c | MAVORANTA F , A
f (c) < 0 NEWOZMOVNO, TAK KAK c | NAIMENX[AQ MAVORANTA F .
     (G). pOLOVIM g(x) = f (x) , I PRIMENIM K g SWOJSTWO (W). >
     p R I M E R Y. 3. fUNKCIQ f (x) = x1 (0 < x < 1) NEPRERYWNA, NO NE
OGRANI^ENA; ONA OGRANI^ENA SNIZU, NO NE DOSTIGAET SWOEJ NIVNEJ GRANI.
     4. uRAWNENIE x = cos x OBLADAET KORNEM NA OTREZKE [0; 1] fPRIMENIM
2(W) K FUNKCII f (x) = x , cos xg.
     5. u P R A V N E N I E. pUSTX E | ODIN IZ PROMEVUTKOW (a; b); [a; b]; (a; b]
[a; b) (WKL@^AQ NESOBSTWENNYE) I f : E ! R NEPRERYWNA I STROGO WOZRAS-
TAET. tOGDA f (E ) QWLQETSQ PROMEVUTKOM TOGO VE TIPA.
     6. fUNKCIQ f : E ! R (E  R) NAZYWAETSQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ
NA E , ESLI
          8" > 0 9 > 0 8x; y 2 E (jx , yj <  ) jf (x) , f (y)j < "):
rAWNOMERNO NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, O^EWIDNO, NEPRERYWNA. oBRATNOE, WO-
OB]E GOWORQ, NEWERNO. nAPRIMER, FUNKCIQ f (x) = x1 (0 < x < 1) NEPRE-
RYWNA, NO NE RAWNOMERNO (DLQ x = ; y = 2 : jx , yj < ; j x1 , 1y j > 1 > 1
DLQ WSEH  2 (0; 1)).
     7. eSLI f : [a; b] ! R NEPRERYWNA, TO ONA I RAWNOMERNO NEPRERYWNA.
  pUSTX NAPROTIW, 9" > 0 8 > 0 9x; y 2 E (jx , yj < ; jf (x) , f (y)j  ").
tOGDA DLQ k = k1 (k 2 N) NAJDUTSQ xk ; yk 2 [a; b] TAKIE, ^TO
()             jxk , yk j < k1 ; jf (xk ) , f (yk )j  " (k 2 N):

                                       49