Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 50 стр.

pOSLEDOWATELXNOSTX (xk ), BUDU^I OGRANI^ENNOJ, OBLADAET SHODQ]EJSQ POD-
POSLEDOWATELXNOSTX@ (xkj ) : xkj ! c 2 [a; b]. tOGDA ykj = (ykj ,xkj )+xkj !
c. tAK KAK f NEPRERYWNA W c, TO f (xkj ) , f (ykj ) ! f (c) , f (c) = 0, ^TO
PROTIWORE^IT (). >
    x25. pRODOLVENIE PO NEPRERYWNOSTI
    pUSTX f : E ! R RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA E , I E 0 | MNOVESTWO
WSEH PREDELXNYH TO^EK MNOVESTWA E . tOGDA f DOPUSKAET RAWNOMERNO
NEPRERYWNOE PRODOLVENIE NA E [ E 0.
  tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET f~ : F ! R, RAWNOMERNO NEPRERYW-
NAQ NA F  E [ E 0 I TAKAQ, ^TO f~jE = f . dLQ KAVDOJ TO^KI a 2 E 0 PO
KRITERI@ kO[I 19.4 SU]ESTWUET xlim    !a f (x). pOLOVIM
                          (                ESLI a 2 E ,
                  ~f (a) = f (a);
                             lim
                            x!a  f ( x ) ; ESLI a 2 E 0nE .
uBEDIMSQ, ^TO f~ : F ! R RAWNOMERNO NEPRERYWNA. pO USLOWI@
 8" > 0 9 > 0 8x0; x00 2 E (jx0 , x00j < 3 ) jf (x0) , f (x00)j < "=3). pUSTX
y; z 2 F TAKOWY, ^TO jy , zj < . tOGDA NAJDUTSQ 0; 00 (0 < 0; 00 < )
TAKIE, ^TO
                jx0 , yj < 0 ) jf (x0) , f~(y)j < "=3 (x0 2 E );
               jx00 , zj < 00 ) jf (x00) , f~(z)j < "=3 (x00 2 E ):
tEPERX, WYBRAW x0 2 (y , 0; y + 0) \ E; x00 2 (z00 , 00; z + 00) \ E , POLU^IM
     jf~(y) , f~(z)j  jf~(y) , f (x0)j + jf (x0) , f (x00)j + jf (x00) , f~(z)j< "
(MY U^ITYWAEM, ^TO jx0 ,x00j  jx0 ,yj+jy ,zj+jz ,x00j < 3). uTWERVDENIE
DOKAZANO (SM. POD^ERKNUTYJ TEKST). >
    x26. nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII
    1. pUSTX E | PROMEVUTOK W R (SM. 7:1) I f : E ! R STROGO WOZ-
RASTAET (UBYWAET) I NEPRERYWNA. tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ g : F ! R
STROGO WOZRASTAET (SOOTWETSTWENNO UBYWAET) I NEPRERYWNA.
  w SILU 4.2 NUVNO USTANOWITX NEPRERYWNOSTX g W KAVDOJ TO^KE 2 F .
pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI E = [a; b]. pUSTX c 2 [a; b] TAKOWO, ^TO f (c) =
                                        50