Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 485 стр.

     sINGULQRNYE KUBY
     42. pUSTX I k = [0; 1]k  Rk ; U | OTKRYTOE MNOVESTWO W Rk TAKOE, ^TO
Ik   U . pUSTX  : U ! Rn (n  k) | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE OTOBRA-
VENIE. oGRANI^ENIE \TOGO OTOBRAVENIQ NA I k NAZYWAETSQ k-MERNYM SINGULQR-
NYM KUBOM W Rn. dOPUSKAQ NEKOTORU@ WOLXNOSTX, BUDEM OBOZNA^ATX \TO OGRA-
NI^ENIE PO-PREVNEMU BUKWOJ  ( : I k ! Rn). eSLI OTOBRAVENIE DEJSTWUET W
OTKRYTU@ OBLASTX V  Rn, TO GOWORQT O k-MERNOM SINGULQRNOM KUBE W OBLASTI
V . nULXMERNYM SINGULQRNYM KUBOM NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE  : f0g ! Rn . w
^ASTNOSTI, SAM STANDARTNYJ KUB I k RASSMATRIWAETSQ KAK k-MERNYJ SINGULQR-
NYJ KUB, QWLQ@]IJSQ OGRANI^ENIEM NA I k TOVDESTWENNOGO OTOBRAVENIQ Rk NA
SEBQ.
    43. pUSTX ; 0 : I ! R | DWA k -MERNYH SINGULQRNYH KUBA. bUDEM GO-
                        k     n
WORITX, ^TO 0 POLU^EN IZ  IZMENENIEM PARAMETRIZACII (PI[EM   0),
ESLI SU]ESTWUET DIFFEOMORFIZM p : I k ! I k (TO ESTX p | BIEKCIQ, NEPRERYW-
NO DIFFERENCIRUEMAQ WMESTE S p,1, PRI^EM p0; (p,1)0 DOPUSKA@T NEPRERYWNYE
PRODOLVENIQ NA GRANICU I k ) TAKOJ, ^TO
    (i) 0 =   p,
    (ii) det p0 > 0.
 bUDEM PISATX   ,0, ESLI SU]ESTWUET DIFFEOMORFIZM p : I k ! I k TAKOJ,
^TO WYPOLNENO (i) I
    (iii) det p0 < 0.
 w ^ASTNOSTI, 1-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W Rn ESTX GLADKAQ KRIWAQ W Rn W
SMYSLE 178.1, A 2-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W R3 ESTX GLADKAQ POWERHNOSTX W
R3 W SMYSLE 185.1.
    44. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO  | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI
W MNOVESTWE k-MERNYH SINGULQRNYH KUBOW.
     iNTEGRAL FORMY PO SINGULQRNOMU KUBU
       pUSTX ! | 0-FORMA KLASSA C 0 W OBLASTI U  Rn (TO ESTX ! : U ! R |
     45.

               Z ) I  : f0g ! U | 0-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB. pOLOVIM
NEPRERYWNAQ FUNKCIQ
PO OPREDELENI@ !  !((0)).
                
     46.pUSTX TEPERX ! 2 k;0(U ) | ODNO^LENNAQ k-FORMA, TO ESTX !(x) =
c(x)dx ^ : : : ^ dxk ; x = (x1 ; : : :; xk) 2 U , GDE U  Rk | OTKRYTAQ OBLASTX,
      1

                                      485