Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 488 стр.

    53. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO PROSTRANSTWO Sk BESKONE^NOMERNO.
fuKAZANIE: PUSTX p 2 N PROIZWOLXNO I U1; : : :; Up | PROIZWOLXNYE POPARNO
NEPERESEKA@]IESQ OTKRYTYE MNOVESTWA W Rn . rASSMOTRETX k-MERNYE SINGU-
LQRNYE KUBY 1; : : :; p TAKIE, ^TO i(I k)  Ui (1  i  p); CEPI 1 
 i (1  i  p)
NENULEWYE. pOKAZATX, ^TO \TI CEPI LINEJNO NEZAWISIMY.g
    54. rASSMOTRIM PROSTRANSTWO
                                       k;0 = k;0 (Rn ). nA PROIZWEDENII k;0  Sk
OPREDELIM WE]ESTWENNU@ BILINEJNU@ FORMU
                                  Z
(8)                      h!; si  ! (! 2 k;0; s 2 Sk ):
                                     s
    55.  bILINEJNAQ FORMA (8) NEWYROVDENA, TO ESTX
    (A) ESLI h!; si = 0 DLQ L@BOJ ! 2 k;0, TO s = ,
    (B) ESLI h!; si = 0 DLQ L@BOJ s 2 Sk , TO ! = 0.
  (A) SLEDUET IZ OPREDELENIQ
                      P                NULEWOJ CEPI (SM. P. 51).
                          
    (B). eSLI ! = ci1 :::ik (x) dxi1 ^ : : : ^ dxik 6= 0, TO HOTQ BY ODIN KO\FFICIENT
\TOJ FORMY 6= 0 W NEKOTOROJ TO^KE x0 2 Rn . pUSTX, NAPRIMER, c1:::k(0) > 0.
wOZXMEM k-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB  W Rn , ZADANNYJ RAWENSTWOM
           (t1 ; : : :; tk ) = (t1; : : :; tk ; 0; : : :; 0); t = (t1; : : :; tk ) 2 I k ;
GDE U WEKTORA W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA n , k NULEJ. pRI DOSTATO^NO MALOM
 > 0 c1:::k((t)) > 0; t 2 I k . sLEDOWATELXNO, DLQ CEPI s = 1 
  IMEEM
                             Z      Z  R                         t1 : : : tk 
            h!; si = ! =  ! = k c((t)) det t1 : : : tk dt
                             s Z Ik             I
                       = k c((t)) > 0;
                            Ik
^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@. >
   gRANICA CEPI
   56. oPREDELIM SNA^ALA GRANICU SINGULQRNOGO KUBA  : I ! R , TO ESTX
                                                                          k     n
CEPI WIDA s = 1 
 . pUSTX
                            Rki;,  1              1
                                 0  ft = (t ; : : :; t ) 2 R j t = 0g
                                                        k     k i

| GIPERPLOSKOSTX W Rk . bUDEM RASSMATRIWATX \TU GIPERPLOSKOSTX KAK (k , 1)-
MERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO S KOORDINATNYM PREDSTAWLENIEM, INDUCIRO-
WANNYM IZ Rk . tAK ^TO ^ISLA t1; : : :; ti,1; ti+1; : : :; tk SUTX KOORDINATY TO^-
KI (t1; : : :; ti,1; 0; ti+1; : : :; tk ) 2 Rki;,0 1. aNALOGI^NO OPREDELIM GIPERPLOSKOSTX
                                            488