Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 81 стр.

                     integral rimana

   x45. zADA^I, PRIWODQ]IE K PONQTI@ INTEGRALA rIMANA
   1. wY^ISLENIE PLO]ADI KRIWOLINEJNOJ TRAPECII. oSTAWLQQ NA BU-
DU]EE TO^NOE OPREDELENIE PLO]ADI PLOSKOJ FIGURY, BUDEM ORIENTIRO-
WATXSQ POKA NA INTUITIWNYJ SMYSL \TOGO PONQTIQ. pRIBLIVENNOE ZNA^E-
NIE PLO]ADI FIGURY, OGRANI^ENNOJ SNIZU OSX@ Ox, SWERHU | GRAFIKOM
FUNKCII y = f (x), A S BOKOW | WERTIKALXNYMI PRQMYMI x = a; x = b
(rIS. 13),pAWNO
                     X
                     n
                            f (j )(xj , xj,1); j 2 [xj,1; xj ]:
                     j =1
eSTESTWENNO OPREDELITX TO^NOE ZNA^ENIE PLO]ADI \TOJ FIGURY KAK PRE-
DEL (ESLI ON SU]ESTWUET)
             Xn
     S = lim
           n    f (j )(xj , xj,1); GDE 1max  (x , xj,1) ! 0 (n ! 1):
                                         j n j
              j =1
nUVNO POTREBOWATX E]E, ^TOBY \TOT PREDEL NE ZAWISEL NI OT WYBORA
PROMEVUTO^NYH TO^EK j , NI OT SPOSOBA DROBLENIQ OTREZKA [a; b].
     2. oPREDELENIE PUTI DWIVU]EJSQ MATERIALXNOJ TO^KI. pUSTX MATE-
RIALXNAQ TO^KA SOWER[AET PRQMOLINEJNOE DWIVENIE S PEREMENNOJ MGNO-
WENNOJ SKOROSTX@ v(t). tREBUETSQ NAJTI PUTX, PROJDENNYJ TO^KOJ ZA
WREMQ a  t  b. pUSTX FUNKCIQ v(t) NEPRERYWNA. dLQ RE[ENIQ ZA-
DA^I RAZLOVIM PROMEVUTOK IZMENENIQ WREMENI NA MALYE PROMEVUTKI
[t0; t1]; : : :; [tn,1; tn](a = t0 < t1 < : : : < tn = b). wYBRAW W j -M PROME-
VUTKE TO^KU j , MOVNO S^ITATX (W SILU NEPRERYWNOSTI v(t)), ^TO SKO-
ROSTX MATERIALXNOJ TO^KI NA U^ASTKE WREMENI tj,1  t  tj PRIBLIVENNO
POSTOQNNA I RAWNA v(j ), TAK ^TO PUTX, PROJDENNYJ ZA \TO WREMQ, PRI-
BLIVENNO RAWEN v(j )(ntj , tj,1). sLEDOWATELXNO, SUMMARNYJ PUTX ZA WRE-
MQ a  t  b RAWEN P v( )(t , t ). |TO PRIBLIVENNOE ZNA^ENIE TEM
                      j =1
                                j   j     j ,1
TO^NEE, ^EM MENX[E POGRE[NOSTX PRI ZAMENE PEREMENNOJ SKOROSTI NA PO-
STOQNNU@ NA KAVDOM IZ U^ASTKOW [tj,1; tj ] . eSTESTWENNO OVIDATX, ^TO
                                           81