Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

чёркивания тех строк и сто
лбцов матрицы , которые входят в минор
.
Алгебраическим дополнением минора называется допол-
нительный к нему минор, умноженный на ( , где
A
)1
k
M
k
A
k
M
S
S
– сумма номеров
строк и столбцов данной матрицы, которые входят в минор .
k
M
Пример.
A
16151413
1211109
8765
4321
.
Выберем минор второго порядка
2
M
86
42
.
Тогда алгебраическим дополнением к нему будет
2
A
15
11
13
9
)1(
4221
1513
119
.
Замечание. Дополнительный минор элемента (будем обозна-
чать его ) – это определитель порядка 1
ij
a
ij
M
n , полученный из опреде-
лителя
A вычеркиванием строки с номером и столбца с номером i
j
.
А алгебраическое дополнение элемента (будем обозначать его ) –
это произ
ведение
ij
a
ij
A
ij
M )1(.
ji
1.9. Теорема Лапласа и ее следствие
Теорема 1.1 (Лапласа). Пусть в определителе порядка n выбрано
k
строк (столбцов), где 11
n
k
. Тогда определитель равен сумме
произведений всех миноров
k
-го порядка, содержащихся в выбранных
строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.
Следствие 1.2 (теоремы Лапласа). Определитель равен сумме
произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраиче-
ские дополнения:
A
iniii
AaaAa
i
A ,
211 in2
A
njjjj
AaaAa
j
A .
211 nj2
Полученн
ые выражения называют
разложением определителя по
строке
или столбцу соответственно. Они позволяют свести вычисле-
ние определителя порядка к вычислению оп
ределителей порядка
.
n n
1
n
15

Страницы