Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 1.4. Если обратная матрица существует, то она единст-
венная.
Доказательство.
Пусть существует две матрицы и , та
кие, что B C
EABBA
и EACCA
.
Тогда существует и произведение
CAB
, причем согласно свойствам
операции умножения матриц,
CAB CCECAB
)(,
CAB BEBCAB
)(.
Получаем, что
CB
.
Лемма доказана.
Лемма 1.5. Если матрица имеет обратную матрицу, то её оп-
ределитель отличен от нуля.
A
Доказательство.
В лемме 1.3 утверждается, что и – квадратн
ые матрицы
одинакового порядка. Тогда согласно свойству 7 определителей
A
1
A
11
AAAA .
Но
EAA
1
, а 1E , следовательно, 1
1
AA , откуда получа-
ем, что
0A и 0
1
A .
Лемма доказана.
1.11. Нахождение обратной матрицы
Оказывается, что утверждение леммы 1.5 верно и в обратную сто-
рону. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.6 (об обратной матрице). Пусть – квадратная мат-
рица порядка n. Матрица имеет обратную тогда и только тогда,
когда ее определитель
A
A
A отличен от нуля. Причем
T
S
A
1
,
1
A
где – матрица, составленн
ая из алгебраических дополнений элемен-
тов матрицы
A :
S
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
21
22221
11211
. S
17

Страницы