Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Квадратн
ая матрица, определитель которой отличен от нуля, назы-
вается
невырожденной.
Матрицу называют
союзной к матрице .
T
S
A
Доказат
ельство.
1) Пусть матрица
имеет обратную матрицу. Тогда согласно лем-
ме 1.5,
A
0А .
2) Пусть
0
А . Надо доказать, что матрица имеет обратную
матрицу. Для этого покажем, что матрица
A
T
S
A
1
является обратной ,
то есть что
A
EAS
A
1
S
A
1
A )()(
TT
.
a) Докажем равенство
ES
A
1
A )(
T
, то есть
EASA
T
.
Обозначим через
T
SAD
,
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
21
22212
12111
.
T
SAD
Найдем эл
ементы матрицы
D , стоящие на главной диагонали:
nn
AaAaAad
111212111111
,
nn
AaAaAad
222222212122
,
nnnnnnnnnn
AaAaAad
2211
.
Но согласно следствию 1.2 теоремы Лапласа, полученные выражения
являются разложениями
A по строкам, то есть
A
nn
AaAaAa
1112121111
,
A
nn
AaAaAa
2222222121
,
A
nnnnnnnn
AaAaAa
2211
,
откуда
A
nn
ddd
2211
.
Найдем остальные элементы матрицы . Пусть D
j
i
, тогда
jninjijiij
AaAaAad
2211
.
18

Страницы