Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2) прибавление к одн
ой строке (столбцу) другой строки (столбца),
умноженной на некоторое число;
3) перестановка двух строк (столбцов).
Определение. Две матрица и называются
эквивалентными,
если одна из них может быть получена из другой с помощью элемен-
тарных преобразований.
A B
Если матр
ицы и
B эквивалентны, то пишут: A BA
~
.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.7 (об инвариантности ранга матрицы относительно
элементарных преобразований).
Ранг матрицы инвариантен отно-
сительно элементарных преобразований
(эквивалентные матрицы
имеют равные ранги
).
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что
элементарные преобразования матрицы сохраняют ее ненулевые мино-
ры (они могут лишь изменить их знаки).
Учитывая теорему 1.7 и то, что ранг матрицы ступенчатого вида
легко найти, ранг произвольной матрицы можно найти следующим об-
разом:
1) с помощью элементарных преобразований строк получить для
матрицы эквивалентную матрицу , име
ющую ступенчатый вид; A B
2) определить ранг матрицы и, следовательно, матрицы . B A
Такой способ нахождения ранга матрицы называется
методом эле-
ментарных преобразований
.
Замечание. При нахождении ранга матриц элементарные преобра-
зования мы будем производить только над строками матрицы. Это ус-
ловие будет необходимо в дальнейшем при решении систем линейных
уравнений.
Пример.
Методом элементарных преобразований найдем ранг матрицы
44112
84736
32212
A .
Умножим первую строку матрицы на 3
и прибавим ко второй;
затем умножим первую строку на
1
и прибавим к третьей. После этого
прибавим к третьей строке вторую. Получаем
21

Страницы