ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Доказат
ельство.
1) Пусть – линейно зависи
мы. Тогда по определению
существуют числа
k
SSS ,,,
21
k
,
S
kk
,,
21
S
, не все равные нулю одновременно и та-
кие, что
oS
2211
усть, например,
1
. П 0
. Тогда
S
kk
SS
2211
k
k
SSS
1
2
1
2
1
,
то есть являет
ся линейной комбинацией .
1
S
k
SS ,,
2
2) Пусть, например, яв
ляется линейной комбинацией .
Тогда
1
S
k
S
k
SS ,,
2
k
SS
221
или oSSS
kk
221
. Коэффици-
ент при равен 1, то есть отличен от нуля. Следовательно,
– линейно зависи
мы.
1
S
k
S,SS ,,
21
Лемма доказана.
1.15. Теорема о базисном миноре
Теорема 1.9 (о базисном миноре). 1) Базисные строки (столбцы)
матрицы линейно независимы.
2) Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбина-
цией базисных строк (столбцов).
Доказательство.
Докажем утверждения теоремы для столбцов матрицы. Для строк
доказательство проводится аналогично.
1) Допустим, базисные столбцы матрицы – линейно зависимы. То-
гда согласно лемме 1.8 о линейной зависимости, некоторый базисный
столбец матрицы является линейной комбинацией остальных её базис-
ных столбцов. Следовательно, и соответствующий столбец базисного
минора является линейной комбинацией остальных его столбцов. Полу-
чаем, что согласно свойств
ам определителя, базисный минор равен ну-
лю, а это противоречит определению базисного минора. Таким образом,
базисные столбцы – линейно независимы.
2) Пусть
r
– ранг матрицы , А
M
– её базисный минор. Для про-
стоты обозначений будем считать, что
rrr
r
aa
aa
M
1
111
.
23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
