Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Обозначи
м через столбцы матрицы . Покаж
ем, что
любой столбец , где
n
CCC ,,,
21
n
А
k
C
k
1
r
C,,
2
, является линейной комбинацией ба-
зисных столбцов .
C,C
1
а) Пуст
ь
r
k
. Так как
r
CCCC
001
211
,
r
CCCC
010
212
,
,
rr
CCCC
100
21
,
столбец является линейной комбинацией базисных столбцов
.
k
C
r
C,CC ,,
21
б) Пусть
r
k
, рассмотрим определители
ikiri
rkrrr
kr
kr
i
aaa
aaa
aaa
aaa
1
1
2221
1111
, где ni
1.
Если
r
i , то в определителе
i
две одинаковые строки, поэтому
согласно свойствам определителя, 0
i
.
Если
r
i , то является минором матрицы , порядок которого
больше
i
А
r
– ранга матрицы А . Следовательно,
0
i
.
Таким образом, для всех
i , где 0
i
ni
1.
Определители имеют одинаковые строки, кроме последней
строки. Следоват
ельно, алгебраические дополнения к соответствующим
элементам их последних строк также одинаковые. Тогда разложив оп-
ределители по последней стр
оке, получаем
i
i
0...
2
2
11
Maaaa
ikririi
,
где
r
,,,
21
– алгебраические дополнения элементов
соответственно. Итак, для всех
i , где
irii
aaa ,...,,
21
ni
1, выполняется
ir
r
iiik
a
М
a
М
a
М
a
2
2
1
1
r
r
k
С
М
a
М
С
М
С
2
2
1
1
.
то есть ст
олбец являет
ся линейной комбинацией базисных столбцов
.
k
C
r
CCC ,...,,
21
Теорема доказана.
24

Страницы