Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

25
А
Теорема 1.10 (критерий равенства нулю определителя). Опреде-
литель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда его строки
(столбцы) линейно зависимы.
Доказательство.
1) Пусть
0
А . Покажем, что его строки (столбцы) линейно зави-
симы.
Обозначим через
r
ранг матрицы . Так как А 0
А , n
r
.
Пусть – строки (столбцы) матрицы . Будем сч
итать,
что базисными строками (столбцами) являются . Тогда со-
гласно теореме 1.9 о базисном миноре,
n
SSS ,,,
21
А
S ,
2 r
SS ,,
1
rrr
SSSS
22111
12211
rrr
SSSS
oSS
nr
00
2
.
Коэффициент при равен 1
1r
S
, то есть отличен от нуля. Следователь-
но, строки (столбцы) – линейно зависимы.
n
S,S ,,
21
S
2) Пусть строки (столбцы) матрицы – линейно зависи
мы. Тогда
согласно лемме 1.8 о линейной зависимости, некоторая строка (столбец)
является линейной комбинацией остальных строк (столбцов), следова-
тельно,
А
0А .
Теорема доказана.

Страницы