Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Решение сист
емы (2.1) также можно записать в виде
матрицы-столбца
n
ccc ,,,
21
n
c
c
c
2
1
C .
Эта матрица удовлетворяет уравнению (2.2).
Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то
ее называют
совместной. Система линейных уравнений, не имеющая
решений, называется
несовместной.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несо-
вместна, и если совместна, то найти все её решения.
Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании решений систе-
мы (2.1) даёт теорема Кронекера–Капелли.
Теорема 2.1 (Кронекера–Капелли). Система линейных уравнений
совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы сис-
темы равен рангу ее расширенной матрицы, то есть
)
*
()( AA rr .
Оказывается, что случай, когда число решений системы линейных
уравнений (2.1) конечно и больше единицы, невозможен.
Теорема 2.2. Если система линейных уравнений совместна, то она
имеет единственное решение или бесконечное множество решений.
Система, имеющая единственное решение, называется
определен-
ной
. Система, имеющая бесконечное множество решений, называется
неопределенной. В последнем случае каждое её решение называют ча-
стным решением
системы, а совокупность всех частных решений –
общим решением системы.
С помощью следующей теоремы выясняется, имеет ли система ли-
нейных уравнений (2.1) единственное решение.
Теорема 2.3 (критерий единственности решения). Система ли-
нейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда,
когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной
матрицы и равен числу переменных, то есть
nrr )
*
()( AA .
27

Страницы