Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Решение систем линейных уравнений
методом Крамер
а
Также как и матричный метод, этот метод применятся для решения
невырожденных систем линейных уравнений, то есть таких систем, у
которых число уравнений совпадает с числом неизвестных ( ) и
определитель матрицы системы отличен от нуля (
nm
0
A ).
Теорема 2.4 (Крамера). Решение невырожденной системы линей-
ных уравнений может быть найдено по формулам
i
i
x
( ni ,,2,1
), (2.4)
где
A , а – определитель, получаемый из определителя заме-
ной столбца с номером i на столбец свободных членов.
i
Формулы (2.4) называют
формулами Крамера.
Доказательство.
Решая систему матричным методом, согласно формуле (2.3), имеем
BAX
1
,
а согласно теореме 1.6 об обратной матрице,
T
S
A
1
,
1
A
где – матрица, составленная из алгебраических дополнений элемен-
тов матрицы . Тогда
S
A
T
S
A
1
BAX
1
B
T
S
1
B
n
i
nnnn
niii
n
n
i
b
b
b
AAA
AAA
AAA
x
x
x
1
21
21
121111
1
nnnnn
nniii
nn
bAbAbA
bAbAbA
bAbAbA
2211
2211
1221111
1
,
то есть
)(
1
2211 niniii
AbAbAbx
, где ni
1.
Рассмотрим теперь определитель
i
, получаемый из определителя
матрицы заменой столбца с номером на столбец свободн
ых чле-
нов:
А i
29

Страницы