Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.5. Системы линейных однородных уравнений
Рассмотрим систему линейных однородных уравнений с n не-
известными, то есть систему вид
m
а
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
(2.5)
Системы такого вида называют однородными. Если же хотя бы од-
но из уравнений системы является неоднородным, то такая система ли-
нейных уравнений называется
неоднородной.
Система линейных однородных уравнений является частным слу-
чаем системы (2.1). Она всегда совместна, так как
0...
21
n
xxx
)
*
()( AA rr
является её решением. Заметим также, что ранг расширенной матрицы
системы (2.5) равен рангу её основной матрицы, то есть .
Решение 0...
21
n
xxx называется нулевым или тривиаль-
ным
. Но кроме нулевого решения, система (2.5) может иметь и другие
решения, называемые
нетривиальными.
Теорема 2.5 (критерий существования нетривиальных реше-
ний).
Система линейных однородных уравнений обладает нетривиаль-
ными решениями тогда и только тогда, когда ранг её основной матри-
цы меньше числа неизвестных, то есть
.)( n
r
A
.
Доказат
ельство.
1) Пусть существуют нетривиальные решения. Так как ранг не мо-
жет превосходить размера матрицы, то )(
n
r
A
Допустим, что
n
r
)(A , следовательно, r nr
)
*
() AA( огда со-
гласно теореме 2.3, система (2.5) имеет единственное решение. А это
противоречит тому, что существуют нетривиальные решения.
. Т
Таким образом, .)(
n
r
A
2) Пусть
n
r
)(A , то есть n
r
)(A . Тогда согласно теореме 2.3,
система (2.5) имеет более одного решения, то есть существуют нетриви-
альные решения.
Теорема доказана.
Матричной формой записи системы (2.5) является
OXA
. (2.6)
33

Страницы