Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

В главе 1 (пункт 1.7) было введено понятие линейной комбинации
строк (столбцов) матрицы. Пусть – решения уравнения
(2.5),
k21
CCC ,,,
k
,,,
21
– некоторые числа. Тогда
kk
ССС
...
2
211
называется линейной комбинацией решений .
k
CCC ,,,
21
Теорема 2.6 (свойство решений системы линейных однородных
уравнений).
Любая линейная комбинация конечного числа решений сис-
темы линейных однородных уравнений является решением этой систе-
мы.
Доказательство.
Пусть – решения сист
емы (2.5). Рассмотрим линей-
ную комбинацию этих решений
k
CCC ,,,
21
kk
СССС
...
2211
.
Тогда
)...(
2211 kk
СССAСA
kk
AСAСAС
...
2211
.
Но , так ка
к – решения систе-
мы (2.5), то есть удовлетворяют уравнению (2.6). Следовательно,
OAСAСAС
k
21 k
CCC ,,,
21
OOOOСA
k
...
21
.
Таким образом,
C является решением системы (2.5).
Теорема доказана.
2.6. Фундаментальная система решений
системы линейных однород
ных уравнений
Теорема 2.7 (существования фундаментальной системы реше-
ний).
Пусть
r
– ранг матрицы системы линейных однородных уравне-
ний, – количество уравнений этой системы. Если система имеет не-
тривиальные решения, то существует
n
r
n
линейно независимых ре-
шений данной системы, таких, что любое другое её решение будет их
линейной комбинацией.
Эти решения называют фундаментальной системой решений
системы линейных однородных уравнений.
В ходе доказательства теоремы 2.7 показывается, что фундамен-
тальную систему решений можно найти следующим образом:
1) Находим общее решение системы.
2) Записываем любой отличный от нуля определитель порядка
r
n .
34

Страницы