Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Линейные операции над векторами обладают следующими свойст-
вами:
1.
abba ;
2.
)()( cbacba
;
3.
a0a
;
4.
0aa )(;
5.
aa )()(

;
6.
aaa
)(;
7.
baba
)(;
8.
aa 1.
Замечание. Свойства линейных операций над векторами с точно-
стью до обозначений совпадают со свойствами линейных операций над
матрицами (глава 1, пункт 1.3).
3.3. Линейная зависимость и независимость векторов
В главе 1 (пункт 1.14) рассматривались понятия линейной зависи-
мости и независимости строк и столбцов матрицы. Введём аналогичные
понятия для векторов.
Определение. Векторы
k
aaa ,,,
21
называют линейно зависимы-
ми
, если существуют числа
k
,,,
21
, не все равные нулю одновре-
менно, такие, что
0aa a
kk
2211
.
Если же равенство
0aaa
kk
2211
возможно только при
условии 0
21
k
, то векторы называют линейно независи-
мыми.
Следующая лемма аналогична лемме 1.8 (глава 1, пункт 1.17).
Лемма 3.3 (о линейной зависимости).
Векторы
k
aaa ,,,
21
ли-
нейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них ли-
нейно выражается через остальные.
Доказательство.
1) Пусть векторы
k
aaa ,,,
21
– линейно зависимы. Тогда по опре-
делению существуют числа
k
,,,
21
, не все равные нулю одновре-
менно и такие, что
0aa a
kk
2211
. Пусть, например,
0
1
. Тогда
kk
aaa
2211
41

Страницы