Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

k
k
aaa
1
2
1
2
1
,
то есть век
тор
1
a линейно выражается через векторы
k
aa ,,
2
.
2) Пусть один из векторов
k
aaa ,,,
21
линейно выражается через
остальные. Например,
kk
aaaa
33221
0aaaa
kk
33221
.
Коэффициент при
1
a равен
1
, то есть отличен от нуля. Следовательно,
векторы
k
aaa ,,,
21
– линейно зависимы.
Лемма доказана.
Лемма 3.4 (критерий линейной зависимости двух векторов).
Два ненулевых вектора a и b линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они коллинеарны.
Доказательство.
Два ненулевых вектора
a и b линейно зависимы (согласно
лемме 3.3)
a линейно выражается через b
(согласно определению)
ba
для некоторого числа 0
(согласно лемме 3.1) векторы a
и
b коллинеарны.
Лемма доказана.
Лемма 3.5 (критерий линейной зависимости трёх векторов).
Три
ненулевых вектора
a , b и c линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они компланарны.
Доказательство.
Три ненулевых вектора
a , b и c линейно зависимы (согласно
лемме 3.3) один из них линейно выражается через остальные (со-
гласно лемме 3.2) векторы
a , b и c компланарны.
Лемма доказана.
3.4. Базис системы векторов
Определение. Базисом некоторой системы векторов называется
любая максимальная линейно независимая подсистема этой системы.
Иначе говоря, векторы
n
eee ,,,
21
некоторой системы векторов
образуют её базис, если выполняются следующие два условия:
1)
n
eee ,,,
21
– линейно независимы;
2)
aeee ,,,,
21 n
– линейно зависимы для любого вектора a данной
системы векторов.
42

Страницы