ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Базис данной системы векторов можно выбрать не единственным
образом. Однако справедлива следующая теорема.
Теорема 3.6.
Любые два базиса данной системы векторов состо-
ят из одного и того же числа векторов
.
Легко увидеть, что является базисом векторов плоскости и базисом
векторов пространства.
Теорема 3.7. 1)
Базисом векторов плоскости являются любые два
неколлинеарных вектора этой плоскости.
2) Базисом векторов пространства являются любые три неком-
планарных вектора.
Роль базиса характеризует следующая теорема.
Теорема 3.8 (о базисе).
Каждый вектор данной системы векторов
линейно выражается через любой базис этой системы, причем единст-
венным образом.
Доказательство.
Пусть
n
eee ,,,
21
– базис, a – произвольный вектор. Тогда соглас-
но определению,
n
eee ,,,
21
– линейно независимы, а
aeee ,,,,
21 n
–
линейно зависимы. Следовательно, существуют числа
,,,,
21 n
,
не все равные нулю одновременно и такие, что линейная комбинация
0aeee
nn
2211
.
Покажем, что 0
.
Если 0
, то 0eee
nn
2211
, где коэффициенты
n
,,,
21
не все равны нулю одновременно. А это означает, что век-
торы
n
eee ,,,
21
– линейно зависимые. Но по условию они образуют
базис и, следовательно, линейно независимы. Получили противоречие.
Таким образом, 0
. Тогда
nn
eeea
2211
,
n
n
eeea
2
2
1
1
,
то есть
a линейно выражается через векторы
n
eee ,,,
21
.
Докажем, что вектор
a линейно выражается через базис единст-
венным образом. Пусть
nn
eeea
2211
,
nn
eeea
2211
.
Тогда
43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
