Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.7. Нахождение длины вектора.
Направляющие косинусы вектора
Покажем, как находится длина вектора
a
, если известны его коор-
динаты , , .
x
a
y
a
z
a
Пусть начало векто
ра
a находится в начале координат. Обозначим
через конец вектор
а
M
a через N проекцию точки
M
координат-
ную плоскость
, – на
xy
O,ерез ч
K
– проекцию точки N на координатную
ось
x
O.
По теореме Пифагора
22
NMONOM ,
22
KNOKON .
M
a
Тогда
z
a
222
NMKNOKOM ,
но
aOM ,
x
aOK ,
y
aKN ,
z
aNM .
Таким образом,
a =
222
zyx
aaa .
Пусть углы, которые образует вектор
a ={ , ,
a
} с осями
x
a
y
a
z
x
O,
и соответственно, равны
yO
zO
,
и
.
Рассмотрим вектор {cos }cos,cos,
.
Согласно свойству 1 проекций,
x
a пр
Ox
a
cos
a ,
y
a пр
Oy
a
cos
a ,
z
a
пр
Oz
a
cos
a ,
откуда }cos,cos,{cos
= },,{
aaa
z
y
x
a
a
a
a
x
a
i
+
a
y
a
j
+
a
z
a
k
=
a
1
a ,
Таким образом, вектор }cos,cos,{cos
– единичный и направ-
лен также как и вектор
a . По cos,cos,этому вектор {cos }
называют
ортом вектора a , а
co , s
cos ,
cos на щими ко-
синусами
вектора
зывают
направляю
a
.
Заметим, что
222
coscoscos 1
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
aaa
z
y
x
a
a
a
.
Полученное соотношение называют
свойством направляющих косинусов.
1coscoscos
222
O
K
N
y
a
x
a
a
48

Страницы