Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 3.12 (критерий ортогональности векторов). Два ненуле-
вых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное
изведе е а нулю.
Доказательство.
П с н л векторы
про ни р вно
a и b 1) у ть не у евые ортогональны, то есть угол
ними равен Тогда
o
90 .
),( ba a b
cos a b 090cos
o
. между
2) Пусть
0
a , 0b и 0),(
ba . Тогда a b 0cos
, откуда
0cos
, следовательно,
o
90
.
Лемма доказана.
Найдем, как вычисляется скалярное произведение векторов, есл
известны их коорди ы.
и
нат
Пусть
a
=
y
{ },
x
a , a ,
z
a b={ . Тогда используя тва ска-
произведения
x
b ,
y
b ,
z
b } свойс
лярного векторов, получаем
),( ba ( a +
x
i +
y
a j
z
a
k
,
x
b i + +
y
b j
z
b
k
) =
) + ) +
x x
b
(i , i
x
a
y
b (i ,
j
x
a
z
b
(i ,
k
=
a
) +
+
y
a
x
b ( j,i ) +
y
a
y
b ( j, j) +
y
a
z
b ( j,
k
) +
+ a b (
k
, i ) +
z
a
y
b (
k
, j) +
z
a
z
b (
k
,
k
z x
).
ыВектор
i , , j
k
опа но го альны, следовательно, согласно
лемме 3.12, (
i ,
j
) = ( i ,
п р орт
о н
k
) = (
j
,i ) = (
j
,
k
) = ( ) = (
k
,
j
k
,i ) = 0. Тогда
),( ba
x
a
x
b (i , + ( + bi )
y
a
y
b j, j)
z
a
z
(
k
,
k
).
2
)( i , ii , По свойств 4 с произведенияу к
алярного ,
2
),( jjj ,
2
),( kkk . Но , i j,
k
векторы – единичные, следовательно, 1),(
ii ,
1),(
j
j
, ),( 1
k
k
, откуда
),( ba
zyyxx
bababa
z
.
Лемма 3.13. Скалярно векторов н произ-
ведений их соответствующи координат
е произведение рав о сумме
х :
),( ba
zzyyxx
bababa
.
между векторами
a {
x
a ,
y
a ,
z
a } и b {
x
b ,
y
b ,
z
bНайдем угол }.
Так как (
a , b ) = a b
cos , то
cos
ba
ba
),(
ba
zzyyxx
bababa
.
52

Страницы