Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 3.16. Пусть a b и – неколлинеарные векторы. Тогда пло-
щадь треугольника, построенного на этих векторах, равна половине
модуля векторного произведения векторов
a и b :
],[
2
1
aS .
.12. Cм анн
Определение. Смеш
b
3 еш ое произведение векторов
анным произведением
),,( cba
трёх векторов
a , b и c называется число, получаемое следующим образом: векторное
произведение [
a , b ] умножается скалярно на c :
)],,([),,( cbacba
.
Лемма 3.17. Пусть
Геометрический смысл смешанного произведения объясняется сле-
дующей лемм
ой.
a , b и c – некомпланарные векторы. Тогда
объём параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен модулю
смешанного произведения векторов
a
,
b
и
c
:
),,( cbaV .
Доказательство.
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания
на высоту, опущенную на это основание:
h
S
V
.
Основание параллелепипеда – па-
раллелограмм, построенный на векторах
a и b. Тогда согласно лемме 6.2, его
площадь
],[ baS .
Высота параллелепипеда
h равна
модулю проекции вектора
c на векторное
произведение
],a[ b : c
ba ],[
прh
Получаем, что
.
h
S
V
],[ ba
c
ba ],[
пр .
Вычислим
)],,([ cba , применяя формулу (3.1) из пункта 3.10:
)],,([ cba ],[ ba c
ba ],[
пр .
Таким образом,
V
],[ ba c
ba ],[
пр
Лемма доказана.
],[ ba
c
b
a
cb
]
пр] a
ba,[
,[ )],,([ cba ),,( cba .
56

Страницы