Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 3.
18.
Пусть a , b и c – некомпланарные векторы. Тогда
объём пирамиды, построенной на этих векторах, равен одной шестой
модуля смешанного произведения векторов
a , b и c :
),,(
6
1
cbaV
Свойства смешанного произведения векторо
1. (
.
в:
a , b , c ) = – ( b , a , c );
2. (
a , b , c ) = ( b , c , a ) = ( c , a , b );
3. (
a , b , c ) = ([ a , b ], c ) = ( a ,[ b , c ]).
итерий компланарности векторов через сме-
шанное произведение).
Три ненулевых вектора компланарны тогда и
толь е анное п
Лемма 3.19 (кр
ко тогда, когда их см
ш роизведение равно нулю.
Доказательство.
1) Пусть ненулевые векторы
a , b и c – ко пл нам а рны. Рассмотрим
два случая: а) векторы
a и b a и b – коллинеарн б) векторы ы; – не
коллинеарны.
а) Если векторы
a и b – коллинеарны, то согласно определению
д ,
0ba
],[, следовательно, векторного прои ве е ияз н
)],[,,( bacb ,() ca ),( c0
0
.
б) Если векторы
a и b – не коллинеарны,
то согласно определению, вектор [
a , b ] орто-
гонален векторам
a и b. Следовательно, век-
тор
],[ ba ортогонален и вектору c . Тогда со-
гласно лемме 3.12,
)],,([),,( cbab ca
0 .
2) Пусть
)],,([),,( cbacba 0
. Так как c – ненулевой вектор,
равенство
)],,([ cba возможно только в двух случаях: а) 0 0ba ],[ и
б) векторы
],[ ba и c – ортогональны.
а) Если
0ba ],[, то согласно лемме 3.14, векторы a и b – колли-
, чтонеарны, откуда следует
a , b и c – компла арн . н ы
б) Пусть вектор
], b ортогонален вектору [a c . Но вектор
],[ ba
рам также ортогонален векто
a и b, откуда леду т, что векторы с е a , b и
c лежат в параллельных
Лемма доказана.
],[ ba
c
b
плоскостях, то есть компланарны.
a
57

Страницы