Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

ГЛ А ВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
4.1. Понятие линейного пространства
На практике часто встречаются множества, элементы которых
можно складывать и умножать на действительные числа. Например, в
главе 1 было рассмотрено множество матриц одинакового размера, а в
главе 3 – множество векторов пространства и плоскости. Оказалось, что
эти множества, несмотря на то, что состоят из элементов разной приро-
ды, обладают одними и теми же свойствами, дл
я них верны одни и те
же утверждения. Линейное пространство – это понятие, обобщающее
понятия всех таких множеств. При изучении линейных пространств,
изучаются все эти множества сразу.
Пусть
L
– некоторое множество, элементы которого можно скла-
дывать и умножать на действительные числа. Обозначим через ℝ –
множество действительных чисел.
Определение. Множество
L
называется линейным пространст-
вом над ℝ или вещественным линейным пространством, если вы-
полняются следующие условия:
1)
ab для любых ba
L
ba
, ;
2)
)()( cbacba
для любых
L
cba
,,;
3) во множестве
L
существует элемент o , называемый нулевым эле-
ментом
, такой, что
aoa
для любого
L
a
;
4)
для каждого элемента
L
a
существует элемент
L
a
, называе-
мый
противоположным элементу a, такой, что oaa
)(;
5) aa )()(

для любых
, ℝ и любого
L
a
;
6) aaa
)( для любых
, ℝ и любого
L
a
;
7) baba
)( для любого
ℝ и любых
L
ba
,
;
8) aa 1 для любого
L
a .
Рассмотрим, какие из известных множеств являются вещественны-
ми линейными пространствами.
Пример 1. Пусть ,( nm
ℝ – множество матриц размера с
элементами из
ℝ. Для этого множества все условия из определения ли-
нейного пространства выполняются (согласно свойствам линейных опе-
)
nm
59

Страницы