Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 4.1. Пусть
L
– вещественное линейное пространство. То-
гда для любых элементов
ba
L
,
и любых действительных чисел
,
справедливы следующие утверждения:
1) ; oa 0
2) oo
;
3) aa
)( ;
4) aa
)( ;
5) aa
)()( ;
6) baba
)( ;
7) aaa
)( .
Доказательство.
Приведём доказательство только первого из этих равенств. Пока-
жем, что oa 0.
Рассмотрим элемент a
. Используя условие 6, получаем
a
aaa
0)0(
.
Прибавим к левой и правой части этого равенства элемент, проти-
воположный к a
, т.е. )( a
. Тогда
)( a
a
aaa
0)(
Но по условию 4
)( a
a
o
,
а согласно условиям 2 и 3

aaa 0)(
aaa 0)()(
aao
00.
Следовательно, oa 0.
Замечания. 1. В дальнейшем будем использовать термин линейное
пространство
, подразумевая, что оно является вещественным.
2. Элементы линейных пространств принято называть векторами.
4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
В предыдущих главах уже встречалось понятие линейной комби-
нации элементов некоторых множеств. Введём теперь это понятие в
общем виде.
Определение. Пусть
M
– некоторое множество, элементы которо-
го можно складывать и умножать на действительные числа. Тогда вы-
ражение
kk
mmm
211 2
, где , ,
,
1
m
2
m
k
m
M
, а
1
,
2
,,
k
– некоторые действительные числа, называют линейной
комбинацией
элементов , ,
, с коэффициентами
1
m m
2 k
m
1
,
2
, ,
k
.
61

Страницы