Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Если
M
m
k
m
и является линейной комбинацией элементов
, ,
, , то есть
m
1
m
2
m
m
kk
mmm
2211
,
то говорят, что
линейно выражается через элементы , ,,
или
разложен по элементам , ,, .
m
1
m
2
m
k
m
1
m
2
m
k
m
Пусть
L
– линейное пространство, , ,,
1
a
2
a
k
a
L
.
Определение. Говорят, что векторы , ,
, – линейно зави-
симы
, если существуют числа
1
a
2
a
k
a
1
,
2
,,
k
, не все равные нулю одно-
временно, такие, что линейная комбинация
kk
aaa
2211
равна нулевому элементу o линейного пространства
L
.
Если же равенство
kk
aaa
2211
o
возможно только
при условии 0
21
k
1
a
2
a, то векторы , ,, называют ли-
нейно независимыми
.
k
a
Эти поня
тия также рассматривались в предыдущих главах. В гла-
ве 1 (пункт 1.14) вводилось понятие линейной зависимости и независи-
мости строк и столбцов матриц, а в главе 3 (пункт 3.3) – свободных век-
торов. А следующая лемма аналогична лемме 1.8 (глава 1, пункт 1.14) и
лемме 3.3 (глава 3, пункт 3.3).
Лемма 4.2. Векторы , линейно зависимы тогда и толь-
ко тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через ос-
тальные.
1
a,
2
a,
k
a
Доказательство.
1) Пусть векторы , ,
, – линейно зависимы. Тогда по опре-
делению существуют числа
1
a
2
a
k
a
1
,
2
,,
k
, не все равные нулю одновре-
менно и такие, что
oa
kk
aa
2211
. Пусть, например,
0
1
. Тогда
kk
aaa
2211
k
k
aaa
1
2
1
2
1
,
то есть век
тор линейно выражает
ся через векторы ,, .
1
a
2
a
k
a
2) Пусть один из векторов , , , линейно выражается через
остальные. Например,
1
a
2
a
k
a
1
a
kk
aaa
3322
oaaaa
kk
33221
.
62

Страницы