Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Таки
м образом, векторы , , будут линейно независи
мыми,
если
1
a
2
a
3
a
0
321
– единственное решение полученной системы, то
есть если
n
r
)(A , где – основная матрица системы, – число неиз-
вестных.
A n
В данном случ
ае
035
A , то есть система имеет единственное
решение 0
321
, следовательно, , , – линейно независи-
мы.
1
a
2
a
3
a
4.3. Базис линейного пространства
Для свободных векторов понятие базиса детально изучалось в гла-
ве 3. Утверждения этого параграфа аналогичны утверждениям, доказан-
ным в пункте 3.4.
Определение. Максимальная линейно независимая система векто-
ров линейного пространства называется
базисом этого линейного про-
странства.
Иначе говоря, векторы , ,
, линейного пространства обра-
зуют его базис, если выполняются следующие два условия:
1
e
2
e
n
e
1) , ,
, – линейно независимы;
1
e
2
e
n
e
2) , ,
, , – линейно зависимы для любого вектора этого
линейного пространства.
1
e
2
e
n
e a a
Очевидно, что базис можно выбрать не единственным образом.
Например, если , ,
, – базис, то для любого 0
1
e
2
e
n
e
векторы
1
e
,
2
e
,,
n
e
также образуют базис.
Однако справедлива следующая теорема.
Теорема 4.3. Любые два базиса линейного пространства состоят
из одного и того же числа векторов
.
Если в линейном пространстве
L
существует базис из векторов,
то пространство называют
конечномерным, а называют размерно-
стью линейного пространства
(обозначают:
n
n
n
L
dim ).
Если в линейном пространстве
L
для любого натурального
можно найти линейно независимую систему, состоящую из векторов,
то п странство наз
ы ают
бесконечномерным (обозначают:
n
n
ро
в
L
dim ).
Найдём базисы некоторых линейных пространств.
64

Страницы