Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1. Линейное пространство свободных векторов плос-
кости имеет размерность
)2(
V
2dim
)2(
V
. Известно, что базисом векторов
плоскости являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости
(теорема 3.7, пункт 3.4, глава 3).
Пример 2. Линейное пространство
)3(
V
свободных векторов про-
странства имеет размерность 3dim
)3(
V
. В этом линейном простран-
стве базисом являются любые три некомпланарных вектора (теорема
3.7, пункт 3.4, глава 3).
Пример 3. Арифметическое линейное пространство ℝ также яв-
ляется конечномерным. Его размерность d
ℝ
n
im
n
n
. Базисом являются,
например, векторы
)0,;0;1(
1
e , )0,;1;0(
2
e , , )1,;0;0(
n
e .
Будем называть этот базис
стандартным базисом линейного про-
странства
ℝ .
n
Легко проверить, чт
о 1) эти векторы линейно независимые; 2) лю-
бой вектор a
),,,(
21 n
nn
eee
2211
.
Пример 4. Линейное пространство ,22(
M
ℝ ) матриц второго по-
рядка с элементами из
ℝ имеет размерность ,dim 22(
M ℝ . Его ба-
зисом являются, например, матрицы
4)
00
01
1
E , , , .
00
10
2
E
01
00
3
E
10
00
4
E
Действительно, 1) , , , – лине
йно независимы (показали
ранее); 2) , , , , – линейно зависимы для любой матрицы
1
E
4
A
2
E
3
E
4
E
1
E
,2
2
E
3
E E
A 2(
M
ℝ , так как )
422321212111
2221
1211
EEEEA aaaa
aa
aa
.
Базис , , , в дальнейшем будем н
азывать стандартным ба-
зисом
линейного пространства
1
E
2
E
3
E
4
E
,22(
M
ℝ . )
Пример 5. Обозначим через ℝ
n
[ ]
x
– линейное пространство мно-
гочленов, степень которых меньше и имеющих коэффициенты из
ℝ.
Это линейное пространство имеет размерность d
n
n
im
ℝ ][
x
n . Его бази-
сом являются, например, многочлены
1)(
0
xf , , , , . xxf )(
1
2
2
)( xxf
1
1
)(
n
n
xxf
65

Страницы