Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Так ка
к векторы , ,
, – линейно независимы, то
1
e
2
e
n
e 0
11
,
0
22
, …,
0
n n
. Откуда получаем, что
11
,
22
, …,
nn
.
Теорема доказана.
Пусть , ,
, – базис, – произвольный вектор. Тогда соглас-
но теореме 4.4 о базисе, вектор можн
о единственным образом пред-
ставить в виде линейной комбинации базисных векторов:
1
e
2
e
n
e a
a
nn
eeea
2211
.
При этом коэффициенты
1
,
2
, ,
n
называют координатами вектора
в базисе , ,
, . a
1
e
2
e
n
e
Рассмотрим следующ
ий пример.
Пример. Матрица имеет в стандартном базисе
, , , линейного пространства ,
43
21
A
1
E
2
E
3
E
4
E 22(
M
ℝ координаты
. Д
ействительно,
)
4,3
,2,1
10
00
4
01
00
)3(
00
10
)2(
00
01
1
43
21
4321
432 EEEEA
.
Теорема 4.5. 1) Если вектор a имеет в базисе , ,
, коорди-
наты
1
e
2
e
n
e
n
,,,
21
n
, а вектор имеет в том же базисе координаты b
,,,
21
, то вектор b будет иметь в базисе , ,
, коор-
динаты
a
1
e
2
e
n
e
nn
,
211
,,
2
.
2)
Если вектор a имеет в базисе , ,, координаты
1
e
2
e
n
e
n
,,,
21
, то для любого числа
ℝ вектор a
будет иметь в том
же базисе координаты
n



,,,
21
.
Доказательство.
По условию
nn
eeea
2211
,
nn
eeeb
2211
.
Тогда используя свойства из определения линейного пространства,
получаем
)()(
22112211 nnnn
eeeeeeba
nnn
eee )()()(
222111
,
nnnn
eeeeeea



22112211
)(.
Теорема доказана.
67

Страницы