Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.4. Связь между координатами вектора
в различных базисах
Координаты вектора определены в данном базисе единственным
образом. Но в другом базисе вектор будет иметь другие координаты.
Связь между координатами вектора в различных базисах дает следую-
щая теорема.
Теорема 4.6. Пусть , ,, и
1
e
2
e
n
e
1
e
,
2
e
,,
n
e
– два базиса линей-
ного пространства
L
. Причем имеют место равенства:
.
,
,
2211
22221122
1111
nnnnnn
nn
nn
etetete
etetete
ette
221
e
1
e t
Если вектор a имеет в базисе
, координаты
1
e,
2
e,
n
e
n
,,,
21
, а в базисе
1
e
,
2
e
,
,
n
e
– координаты
n
,,,
2
1
, то
справедливо равенство
BTA
, где
n
2
1
A ,
n
2
1
B , .
nnnn
n
n
ttt
ttt
ttt
21
22221
11211
T
Составленную таким образом матрицу называют
матрицей пе-
рехода
от базиса , ,, к базису
T
1
e e e e
2 n 1
, e
2
,,e
n
.
Доказательство.
По условию
nn
eeea
2211
1
e
2
e
n
e
. Тогда раскладывая векторы
, ,
, по базису , ,, , получим
1
e
2
e
n
e
a )etet (
12211111 nn
et
)
22221122 nn
etet( et
)(
2211 nnnnnn
etetet
.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
.)(
)(
)(
2211
22222211
11122111
nnnnnn
nn
nn
ettt
ettt
ettta
Но по условию
nn
eeea
2211
, следовательно,
68

Страницы