Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.5. Подпространства линейного пространства
Пусть
L
– вещественное линейное пространство, – непустое
подмножество
1
L
L
.
Определение. Множество называют подпространством ли-
нейного пространства
1
L
L
, если оно образует линейное пространство
относительно операций, определенных на
L
.
Рассмотрим примеры линейных подпространств.
Пример 1. Линейное пространство
)2(
V
свободных векторов плос-
кости является подпространством линейного пространства свобод-
ных векторов пространства.
)3(
V
Пример 2. Линейное пространство ℝ является подпространст-
вом линейного пространства
ℝ
][x
n
][
x
всех многочленов.
Для того чтобы показать, что множество является линейным под-
пространством некоторого линейного пространства, приходится пока-
зывать, что оно само является линейным пространством, то есть прове-
рять, выполняются ли все восемь условий из определения линейного
пространства. Следующая теорема позволяет значительно уменьшить
количество проверяемых условий.
Теорема 4.7 (критерий подпространства). Пусть
L
–
неп
веществен-
ное линейное пространство,
1
L – устое подмножество
L
. Множ -
ство
1
L является подпространством линейного пространства
е
L
то-
а и только тогда, когда для любых элементов
, Lba
гд
1
и любого
ℝ
олняются условия: вып
1)
1
Lba
;
2)
1
La
.
Доказательство.
1) Если – подпространство линейного простра
нства
1
L
L
, то оно
само является линейным пространством, следовательно, и
1
La b
1
La
.
2) Пусть и
1
Lba
1
La
для любых
1
, Lba
,
ℝ.
Покажем, что являет
ся линейным пространством. Проверим,
выполняются ли условия из определения линейного пространства.
1
L
70

Страницы