Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Для этого надо показать, что а)
1
Lo
и б) для любого эле-
мент . Остальные условия выпол
няются, так как они выполня-
ются в
1
Lb
1
Lb
L
, а – подмножество
1
L
L
.
По условию теоремы для любых элементов
1
, Lba
.
1
Lba
а) Пуст
ь , тогда
1
Lba
1
Lobb
.
б) Пусть oa
. Так как
1
Lo
, то
1
Lbbo
.
Кроме этого надо ещё показать, что при умножении элементов
множества на число и их сложении результат этих действий будет
также эл
ементом множества .
1
L
1
L
aПо условию теоремы
1
L
для любого элемента и любо-
го
1
La
ℝ.
Покажем, что для любых элементов и любого
1
Lba
1
, Lba
ℝ. Для любых элементов
1
, Lba
1
Lba
. Так как , то
.
1
Lb
1
) Lbab (a
Теорема доказана.
Рассмотрим, ка
к применяется критерий подпространства на сле-
дующем примере.
Пример. Пусть М – множество решений системы линейных одно-
родных уравнений с n неизвестными. Покажем, что это множество яв-
ляется вещественным линейным пространством.
Для этого покажем, что оно является подпространством
ℝ . По
свойству решений системы линейных однородных уравнений (теоре-
ма 2.6, пункт 2.5, глава 2) линейная комбинация решений также являет-
ся решением этой системы. Следовательно, для любых решений
n
M
ba ,
и любого
ℝ
M
ba
и
M
a
. Тогда согласно крите-
рию подпространства, М – подпространство
ℝ , то есть само является
линейным пространством.
n
Заметим, что базисом этого линейного пространства является фун-
дамент
альная система решений. Действительно, согласно теореме о
фундаментальной системе решений (теорема 2.7, пункт 2.6, глава 2),
решения, входящие в неё, – линейно независимы, а любое другое реше-
ние является их линейной комбинацией. Таким образом, фундаменталь-
ная система решений является максимальной линейно независи
мой сис-
темой векторов, то есть базисом линейного пространства решений сис-
темы линейных однородных уравнений.
71

Страницы