Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

,
,
,
2211
22222112
11221111
nnnnnn
nn
nn
ttt
ttt
ttt
или в матричном виде
BTA
.
Теорема доказана.
Замечания. 1) Столбцы матрицы – это координаты векторов
, ,
, в базисе , ,, . Но
T
1
e
2
e
n
e
1
e
2
e
n
e
1
e
,
2
e
,,
n
e
– это базис, то есть ли-
нейно независимая система. Таким образом, столбцы матрицы – ли-
нейно независи
мы. Тогда согласно критерию равенства нулю определи-
теля (теорема 1.10, пункт 1.15, глава 1),
T
0
T .
2) Найдём теперь матрицу перехода от базиса
1
e
,
2
e
,
, к базису
, ,
, . Имеем
n
e
1
e
2
e
n
e BTA
. Тогда BBTTAT
11
, то есть
. Таким обра
зом, если – это матрица перехода от базиса
, ,
, к базису , ,,
A
n
e
T
2
e
B
1
e
1
T
1
e
2
e
e
n
, то
1
T – это матрица перехода от ба-
зиса , ,
, к базису , ,, .
1
ee
2
n
e
1
e
2
e
n
e
Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.
Пример. Вектор x в стандартном базисе линейного пространства
ℝ имеет координаты 2, 3. Найти его координаты в базисе ,
.
2
2
)3,4(
1
c
)4,5(c
Стандартный базис линейного пространства
ℝ
2
образуют векторы
и . )0,1(
1
e )1,0(
2
e
Найдём матрицу перехода от базиса , к базису , :
1
e
2
e
1
c
2
c
212
211
45
34
eec
eec
.
43
54
T
2
1
3
2
x
x
T
3
2
1
2
1
T
x
x
Можно найти, что , тогда
43
54
1
T
6
7
3
2
43
54
2
1
x
x
.
Координатами вектора x в базисе , будут –7 и 6, то есть
.
1
c
2
c
21
67 ccx
69

Страницы