Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

ГЛ А ВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
5.1. Понятие линейного операт
ора
Пусть
)(n
L
– линейное пространство размерности n, ℝ – множество
действительных чисел.
Определение. Отображение
f
линейного пространства
)(n
L
в
)(n
L
(то есть в само себя) называется линейным оператором этого линейно-
го пространства, если для любых
и любого
)(n
Ly ,x
ℝ выполняют-
ся следующие два условия:
1)
)()()( y
f
x
f
y
x
f
;
2)
)()(
x
f
x
f
.
Замечание. Из второго условия определения линейного оператора
и леммы 4.1 следует, что
o
x
f
x
f
o
f
)(0)0()(.
Рассмотрим примеры линейных операторов.
Пример 1. Пусть o
x
f
)( для любого
)(n
L
(o – нулевой эле-
мент линейного пространства
)n(
L
). Тогда для любых и любо-
го
)(n
Ly ,x
ℝ
)()()( y
f
x
f
oooy
x
f
,
)()(
x
f
oo
x
f
,
то есть отображение
f
является линейным оператором. Этот оператор
называют
нулевым оператором, будем обозначать его O .
Пример 2. Пусть
x
x
f
)( для любого
)(n
L
. Тогда для любых
и любого
)(
,
n
Lyx
ℝ
)() y()(
f
x
f
y
x
y
x
f
,
)()(
x
f
x
x
f
,
то есть отображение
f
является линейным оператором. Этот оператор
называют
тождественным оператором, будем обозначать его
J
.
Пример 3. Рассмотрим линейное пространство (свободных
векторов в пространстве). Пусть
)3(
V
k
– некоторое действительное число,
отличное от нуля, и пусть
x
k
x
f
)( для любого
x
)3(
V . Тогда для
любых и любого
)(
,
n
Lyx
ℝ
)( y)()(
k
y
x
)(
f
x
k
y
x
f
y
k
x
f
,
72

Страницы