Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Будем называть этот базис
стандартным базисом линейного про-
странства
ℝ
n
][
x
.
Пример 6. Линейное пространство ℝ ][
x
многочленов с коэффици-
ентами из
ℝ является бесконечномерным: di
m
ℝ ][
x
. Для любого
натурального многочлены n
1)(
0
xf , , , , xxf )(
1
2
2
)( xxf
1
1
)(
n
n
xxf
являются линейно независимыми.
Роль базиса характеризует следующая теорема.
Теорема 4.4 (о базисе). Каждый вектор линейного пространства
линейно выражается через любой его базис, причем единственным об-
разом.
Доказательство.
Пусть , ,
, – базис, – произвольный вектор. Тогда соглас-
но определению, , ,
, – линейно независимы, а , ,, , –
линейно зависимы. Следовательно, существуют числа
1
e
2
e
n
e
2
e
a
1
e
n
e
1
e
1
2
e
n
e a
,
2
,,
n
,
,
не все равные нулю одновременно и такие, что линейная комбинация
oaeee
nn
2211
.
Покажем, что 0
.
Если 0
, то oeee
nn
2211
, где коэффициенты
1
,
2
,,
n
не все равны нулю одновременно. А это означает, что век-
торы , e ,
, – линейно зависимые. Но по условию они образуют
базис и, следовательно, линейно независимы. Получили противоречие.
1
e
2 n
e
Таким образом, 0
. Тогда
nn
eeea
2211
,
n
n
eeea
2
2
1
1
,
то есть линейно выражает
ся через векторы , ,, . a
1
e
2
e
n
e
Докажем, что вектор линейно выражает
ся через базис единст-
венным образом. Пусть
a
nn
eeea
2211
,
nn
eeea
2211
.
Тогда
)()(
22112211 nnnn
eeeeeeaa
,
nnn
eeeo
)()()(
222111
.
66

Страницы