Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

раций над матрицами, пункт 1.3, глава 1). Следовательно, множест
во
,(
nm
M
ℝ ) является вещественным линейным пространством.
Пример 2. Пусть
)3(
V
(
)2(
V
) – множество свободных векторов про-
странства (плоскости). Для этого множества также выполняются все ус-
ловия из определения линейного пространства (согласно свойствам ли-
нейных операций над векторами, пункт 3.2, глава 3). Следовательно,
множество ( ) является вещественн
ым линейным пространст-
вом.
)3(
V
)2(
V
Пример 3. Пусть ℝ
n
– множество последовательностей n дейст-
вительных чисел. Введем операцию сложения элементов множества
ℝ
n
и умножения их н число Пусть
а .
ba, ℝ ,
n
),,(
1 n
aaaa ,
2
,
,
),,
n
b,(
21
bbb
ℝ. Полагаем
),,,(
2211 nn
babababa
,
),,,(
21 n
aaaa
.
Можно проверить, что все условия из определения линейного простран-
ства в этом случае выполняются (нулевым элементом будет
, против
оположным к )0
,,0,0(o
),,,(
21 n
aaaa
– элемент
). Следовательно, множеств
о ℝ является ве-
щественным линейным пространством. Его называют
арифметиче-
ским линейным пространством
, а его элементы – -мерными векто-
рами
.
),
n
a,,
2
a
n
n
(
1
aa
Пример 4. Пусть ℝ
][
x
– множество многочленов с коэффициента-
ми из
ℝ. Можно показать, что все условия из определения линейного
пространства для множества
ℝ ][
x
выполняются. Следовательно, это
множество является вещественным линейным пространством.
Пример 5. Пусть ] – множество функций, непрерывных на
отрезке ]. Для этого множества также можно проверить, что все ус-
ловия из определения линейного пространства выполняются. Следова-
тельно, оно является вещественным линейным пространством.
,[ baC
,[a b
Для действий над эл
ементами линейных пространств верны прави-
ла, аналогичные правилам выполнения арифметических действий над
обычными числами. Используя условия из определения линейного про-
странства, легко доказать следующие ут
верждения.
60

Страницы