Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

получаем равенство остальных элементов матрицы соответству
ю-
щим элементам матрицы .
A
B
Лемма доказана.
Теорема 5.4. Если – матрица линейного оператора A
f
в базисе
, то матрица этого линейного оператора в базисе
имеет ви
д:
n21
n
eee
,,,
21
eee ,,, B
TAT
1
, B
где – матрица перехода от базиса к базису .
T
n
eee ,,,
21
n
eee
,,,
21
Доказательство.
Пусть
x
– произвольный вектор линейного пространства
)(n
L
. Обо-
значим через и
– столбцы координат векторов
X Y
x
и
)(
x
f
соответ-
ственно в базисе , а чер
ез
n
ee ,,e,
21
X
и Y
– столбцы координат этих
векторов в базисе
n
eee
,,
2
,
1
.
Тогда согласно теореме 4.6,
XTX
, YTY
,
и согласно теореме 5.2,
XAY
, XBY
.
Из
YTY
и получаем XAY
XAYT
.
Но , следовательно,
XTX
XTAXA
,
откуда
XTAXAYT
XTAYT
.
Умножим полученное равенство на матрицу слева:
1
T
XTATYTT
11
XTATY
1
.
Таким образом, имеем равенства
XBY
и XTATY
1
XTATXB
1
.
Из последнего полученного равенства и леммы 5.3 получаем, что
TATB
1
.
Теорема доказана.
78

Страницы