Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5.5. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора
Определение.
Ненулевой вектор
)(n
L
x
называется собственным
вектором
линейного оператора
f
, если существует такое
0
ℝ, что
xxf )(
0
, при этом
0
называют собственным значением этого ли-
нейного оператора и говорят, что собственный вектор
x
относится к
собственному значению
0
.
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 5.5. Собственный вектор линейного оператора относит-
ся к единственному собственному значению.
Доказательство.
Допустим, что собственный вектор
x
относится к собственным
значениям
1
и
2
. Тогда xxf
1
)(
и xf
2
x)(
, откуда xx
21
, то
есть
ox)
2
(
1
.
Если 0
21
, то (согласно лемме 4.1). Но oox
1
21
)(
x
– собственный вектор, то есть ненулевой. Таким образом, 0
21
.
Следовательно,
21
.
Теорема доказана.
Теорема 5.6. (свойство собственных векторов). Если
– линейно независимые собств
енные векторы линейного
оператора
n21
xxx ,,,
f
, относящиеся к одному и тому же собственному значе-
нию
, то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов
является собственным вектором, относящимся к этому же собствен-
ному значению.
Доказательство.
Так как – собственные векторы линейного оп
ератора
n
xxx ,,,
21
f
, относящиеся к собственному значению
, то
11
)( xxf
,
22
)( xxf
, …,
nn
xxf
)(.
Пусть
nn
xxx
2211
n
xxx ,,,
21
– нетривиальная линейная комби-
нация векторов , то есть
n
,,
21
x ,
1
ox
n
– числа, не все равные
нулю одновременно. Тогда так как векторы – линейно не-
зависи
мы, то
n
xx ,,
2
xx
n
2211
, причём,
)()()()(
22112211 nnnn
xfxfxfxxxf
79

Страницы