ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Применя
я метод математической индукции, по аналогии с доказа-
тельством теоремы 10.3. можно доказать более широкое утверждение.
Теорема 5.8. Собственные векторы линейного оператора, отно-
сящиеся к его попарно различным собственным значениям, линейно не-
зависимы.
5.6. Характеристический многочлен линейного оператора
Пусть
f
– линейный оператор, – его матрица в некотором бази-
се .
A
n
e,ee ,,
21
Пусть
– произвольное число, – единичная матрица порядка .
Рассмотрим матрицу
E n
AE
, её определитель
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
00
0λ0
00λ
AE
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
λ
λ
λ
21
22221
11211
.
Заметим, что полученный определитель является многочленом сте-
пени относительно
n
.
Определение. Матрица AE
называется характеристической
матрицей
линейного оператора
f
, а определитель AE
– его ха-
рактеристическим многочленом
.
Теорема 5.9. Характеристический многочлен линейного оператора
не зависит от выбора базиса, то есть является инвариантом линейно-
го оператора.
Доказательство.
Пусть – матрица линейного оператора
A
f
в базисе ,
– матрица этого линейного оператора в базисе
n
eee ,,,
21
n
B eee
,,,
21
n
e
, – мат-
рица перехода от базиса к базису
T
n
eee ,,,
21
ee
,,
2
,
1
.
Надо доказать, что
AEBE
.
81
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
