Лекции по высшей алгебре. Шерстнева А.И - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

)(
22112211 nnnn
xxxxxx
.
Следовательно,
nn
xxx
2211
– собственный вектор,
относящийся к собственному значению
.
Теорема доказана.
Теорема 5.7. Собственные векторы и линейного операто-
ра
1
x
2
x
f
, относящиеся к различным собственным значениям, линейно неза-
висимы.
Доказательство.
Векторы и являются собственными векторами линейного
оператора
1
x
2
x
f
. Тогда
111
) xx(f
,
222
)( xxf
, причём из условия тео-
ремы
21
.
Рассмотрим равенство
oxx
2211
. (5.5)
Векторы и – линейно независимы, если это равенство возможно
только при условии
1
x
2
x
0
21
.
Покажем, что
0
21
.
Подействуем линейным оператором
f
на левую и правую часть
равенства (5.5):
oofxxf
)()(
2211
)()()(
22112211
xfxfxxf
oxx
222111
(5.6)
1) Умножим равенство (5.5) на
2
и прибавим к (5.6). Тогда
oxx
121111
oxxx
121112111
)()(
.
По условию теоремы
0
21
. Если 0
1
, то из последнего равен-
ства получаем
o (согласно лемме 4.1). Но –
собственный вектор, то есть ненулевой. Таким образом,
ox
1
11
21
1
)(
1
x
0
1
.
2) Умножим равенство (5.5) на
1
и прибавим к (5.6). Тогда
oxx
212222
oxxx
212221222
)()(
.
По условию теоремы
0
12
. Если 0
2
, то из последнего равен-
ства получаем (согласно лемме 4.1). Но –
собственн
ый вектор, то есть ненулевой. Таким образом,
oox
1
2
12
1
2
)(
2
x
0
2
.
Теорема доказана.
80

Страницы