Методы безусловной многомерной оптимизации. Шипилов С.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

20
5. Поиск экстремума симплекс -методом
Начальную точку с координатами x
(0)
= (5; 6) берем за центр тяжести тре-
угольника. Вокруг начальной точки строим треугольник -симплекс. Координа-
ты вершин исходного симплекса рассчитываются по формулам:
x
(1)
= (x
1
(0)
-a/2 ; x
2
(0)
- 0,29·a);
x
(2)
= (x
1
(0)
+a/2 ; x
2
(0)
- 0,29·a);
x
(3)
= (x
1
(0)
; x
2
(0)
+0,58·a), где a- длина ребра симплекса,
которую выбираем произвольно. Пусть a=2, тогда координаты вершин
исходного симплекса и соответствующее им значение целевой функции будут
равны:
№ точки x
1
x
2
y
x
(1)
x
(2)
x
(3)
4
6
5
5,42
5,42
7,16
108,27
149,95
185,81
Из трех значений функции выбирается "наихудшая" точка: при поиске
минимума эта та точка, в которой функция принимает максимальное значение.
В нашем случае это точка с координатами
x
(3)
= (5; 7,16).
Через центр противолежащей грани строится новая вершина симплекса,
симметричная "наихудшей" вершине.
Координаты новой вершины рассчитываем по формулам:
x
1
(4)
= x
1
(1)
+ x
1
(2)
- x
1
(3)
;
x
2
(4)
= x
2
(1)
+ x
2
(2)
- x
2
(3)
.
В результате получился новый симплекс с вершинами:
№ точки x
1
x
2
y
x
(1)
x
(2)
x
(4)
4
6
5
5,42
5,42
3,68
108,27
149,95
82,52
Теперь " наихудшей" точкой будет вершина симплекса с координатами
x
(2)
= (6; 5,42). Дальнейшие расчеты приведены в таблице.
№ точки x1 x2 y
x
(1)
x
(5)
x
(4)
x
(6)
x
(7)
x
(8)
x
(9)
x
(10)
x
(11)
4
3
5
4
2
3
1
2
0
5,42
3,68
3,68
1,94
1,94
0,2
0,2
-1,54
-1,54
108,27
51,8
82,52
36,16
16,41
10,88
2,08
6,66
8,82
Координаты последнего симплекса приведены в таблице:
Таким образом, вершина
x
(8)
отображенная в x
(11)
вновь
оказалась "наихудшей". Этот
случай называется процедурой
№ точки x
1
x
2
y
x
(9)
x
(10)
x
(11)
1
2
0
0,2
-1,54
-1,54
2,08
6,66
8,82 
                                     20
                   5. Поиск экстремума симплекс -методом
      Начальную точку с координатами x(0) = (5; 6) берем за центр тяжести тре-
угольника. Вокруг начальной точки строим треугольник -симплекс. Координа-
ты вершин исходного симплекса рассчитываются по формулам:
      x(1) = (x1(0)-a/2 ; x2(0) - 0,29·a);
      x(2) = (x1(0) +a/2 ; x2(0) - 0,29·a);
      x(3) = (x1(0) ;          x2(0) +0,58·a), где a- длина ребра симплекса,
которую выбираем произвольно. Пусть a=2, тогда координаты вершин
исходного симплекса и соответствующее им значение целевой функции будут
равны:
                       № точки            x1        x2             y
                             (1)
                           x               4      5,42         108,27
                             (2)
                           x               6      5,42         149,95
                             (3)
                           x               5      7,16         185,81
      Из трех значений функции выбирается "наихудшая" точка: при поиске
минимума эта та точка, в которой функция принимает максимальное значение.
В нашем случае это точка с координатами x(3) = (5; 7,16).
      Через центр противолежащей грани строится новая вершина симплекса,
симметричная "наихудшей" вершине.
      Координаты новой вершины рассчитываем по формулам:
              x1(4)= x1(1)+ x1(2)- x1(3)     ; x2(4)= x2(1)+ x2(2)- x2(3).
      В результате получился новый симплекс с вершинами:
                       № точки            x1        x2             y
                             (1)
                           x               4      5,42         108,27
                             (2)
                           x               6      5,42         149,95
                             (4)
                           x               5      3,68          82,52
     Теперь " наихудшей" точкой будет вершина симплекса с координатами
 (2)
x = (6; 5,42). Дальнейшие расчеты приведены в таблице.
                   № точки      x1         x2         y
                        (1)
                     x           4        5,42     108,27
                        (5)
                     x           3        3,68      51,8
                        (4)
                     x           5        3,68     82,52
                        (6)
                     x           4        1,94     36,16
                        (7)
                     x           2        1,94     16,41
                        (8)
                     x           3        0,2      10,88
                        (9)
                     x           1        0,2       2,08
                       (10)
                     x           2       -1,54      6,66
                       (11)
                     x           0       -1,54      8,82
      Координаты последнего симплекса приведены в таблице:
      Таким образом, вершина    № точки       x1         x2             y
 (8)                 (11)             (9)
x отображенная в x вновь           x          1         0,2           2,08
                                     (10)
оказалась "наихудшей". Этот        x          2        -1,54          6,66
                                     (11)
случай называется процедурой       x          0        -1,54          8,82

Страницы