Экономика общественного сектора. Шкребела Е.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

66
Это предположение безобидно, если мы принимаем, что общественный выбор должен
основываться на выборе индивидуумов.
-
Социальное ранжирование удовлетворяет предпосылке о независимости посторонних
альтернатив (IIA), если ранжирование двух состояний общества общественным
предупорядочением зависит от ранжирования агентами только этих состояний. Формально, ∀a
1,
a
2
∈A, ∀ P=(P
1
,…,P
I
)∈[
Ω
(A)]
I
и ∀ P’=(P’
1
,…,P’
I
)∈[
Ω
(A)]
I
: (a
1
P
i
a
2
⇔ a
1
P’
i
a
2
∀i=1,…,I), ⇒
(a
1
F(P)a
2
⇔ a
1
F(P’)a
2
). Предпосылка о независимости посторонних альтернатив является
формальным способом исключить любую возможность того, что социальное ранжирование
может принимать во внимание интенсивность предпочтений. В самом деле, два профиля
предпочтений, которые представляют одно и то же индивидуальное упорядочение, должны
приводить к одинаковому общественному упорядочению.
-
Социальное ранжирование является диктаторским, если существует агент, чьи
предпочтения определяют общественное упорядочение. То есть i∈{1,…,I} является диктатором
⇔ ∀
P=(P
1
,…,P
I
)∈[
Ω
(A)]
I
, F(P
1
,…,P
I
) =P
i
.
ТЕОРЕМА 1 (Эрроу, 1951)
18
любое общественное упорядочение, которое удовлетворяет
предпосылкам PP, IIA и UD является диктаторским, если I≥2 и A≥3.
Доказательство.
Определение. Назовем множество агентов S почти решающим для упорядоченной пары
состояний (a
1
,a
2
), если ∀ P=(P
1
,…,P
I
)∈[
Ω
(A)]
I
, a
1
P
i
a
2
, ∀i∈S и a
2
P
j
a
1
, ∀j ∉S ⇒a
1
F(P)a
2
.
Определение. Назовем множество агентов S решающим для упорядоченной пары состояний
(a
1
,a
2
), если ∀ P=(P
1
,…,P
I
)∈[
Ω
(A)]
I
, a
1
P
i
a
2
, ∀i∈S ⇒a
1
F(P)a
2
. [для краткости обозначим a
1
Pa
2
].
По определению D
j
(a
1
,a
2
), если j почти решающий для (a
1
,a
2
),
j
D (a
1
,a
2
), если j решающий
для (a
1
,a
2
)
ЛЕММА 1. При предпосылках PP,UD и IIA найдется агент, который является почти
решающим для упорядоченной пары состояний общества.
Доказательство.
Для любой пары (a
1
,a
2
) множество всех агентов решающее (и, следовательно, почти
решающее) в силу PP.
Рассмотрим наименьшее множество агентов, обозначенное S, которое является почти
решающим для некоторой пары состояний (образованное путем перебора всех пар).
Если состоит из одного агента, лемма доказана.
Обозначим пару, для которой S является почти решающим через (a
1
,a
2
).
Если S содержит более одного агента, рассмотрим разбиение S, S
1
∪S
2
, где S
1
состоит из
одного агента. Пусть S
3
− множество агентов, не входящих в S.
18
Теорема часто называется теоремой Эрроу о невозможности. Известны разные способы доказательства теоремы. В
частности, в [9], [10]. В данном случае использовано доказательство из [6], но выполнено более подробно. 
         Это предположение безобидно, если мы принимаем, что общественный выбор должен
основываться на выборе индивидуумов.
              - Социальное ранжирование удовлетворяет предпосылке о независимости посторонних
     альтернатив    (IIA),    если     ранжирование       двух     состояний      общества      общественным
     предупорядочением зависит от ранжирования агентами только этих состояний. Формально, ∀a1,
     a2∈A, ∀ P=(P1,…,PI)∈[Ω(A)]I и ∀ P’=(P’1,…,P’I)∈[Ω(A)]I :              (a1Pia2 ⇔ a1P’ia2 ∀i=1,…,I), ⇒
     (a1F(P)a2 ⇔ a1F(P’)a2).     Предпосылка       о независимости посторонних альтернатив является
     формальным способом исключить любую возможность того, что социальное ранжирование
     может принимать во внимание интенсивность предпочтений. В самом деле, два профиля
     предпочтений, которые представляют одно и то же индивидуальное упорядочение, должны
     приводить к одинаковому общественному упорядочению.
              - Социальное ранжирование является диктаторским, если существует агент, чьи
     предпочтения определяют общественное упорядочение. То есть i∈{1,…,I} является диктатором
     ⇔ ∀ P=(P1,…,PI)∈[Ω(A)]I , F(P1,…,PI) =Pi.
         ТЕОРЕМА 1 (Эрроу, 1951)18 любое общественное упорядочение, которое удовлетворяет
предпосылкам PP, IIA и UD является диктаторским, если I≥2 и A≥3.
         Доказательство.
         Определение. Назовем множество агентов S почти решающим для упорядоченной пары
состояний (a1,a2), если ∀ P=(P1,…,PI)∈[Ω(A)]I , a1Pia2, ∀i∈S и a2Pja1, ∀j ∉S ⇒a1F(P)a2.
         Определение. Назовем множество агентов S решающим для упорядоченной пары состояний
(a1,a2), если ∀ P=(P1,…,PI)∈[Ω(A)]I , a1Pia2, ∀i∈S ⇒a1F(P)a2. [для краткости обозначим a1Pa2].
         По определению Dj(a1,a2), если j почти решающий для (a1,a2), D j (a1,a2), если j решающий
для (a1,a2)
         ЛЕММА 1. При предпосылках PP,UD и IIA найдется агент, который является почти
решающим для упорядоченной пары состояний общества.
         Доказательство.
         Для любой пары (a1,a2) множество всех агентов решающее (и, следовательно, почти
решающее) в силу PP.
         Рассмотрим наименьшее множество агентов, обозначенное S, которое является почти
решающим для некоторой пары состояний (образованное путем перебора всех пар).
         Если состоит из одного агента, лемма доказана.
         Обозначим пару, для которой S является почти решающим через (a1,a2).
         Если S содержит более одного агента, рассмотрим разбиение S, S1∪S2, где S1 состоит из
одного агента. Пусть S3 − множество агентов, не входящих в S.


18
  Теорема часто называется теоремой Эрроу о невозможности. Известны разные способы доказательства теоремы. В
частности, в [9], [10]. В данном случае использовано доказательство из [6], но выполнено более подробно.
                                                                                                               66

Страницы