Экономика общественного сектора. Шкребела Е.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

67
Рассмотрим профиль (существующий в силу UD):
Для i∈S
1
a
1
P
i
a
2
P
i
a
3
Для j∈S
2
a
3
P
j
a
1
P
j
a
2
Для k∈S
1
a
2
P
k
a
3
P
k
a
1
.
Так как S почти решающее для (a
1
,a
2
) и так как a
1
предпочитается a
2
любым агентом из S, и
так как любой агент, не входящий в S, предпочитает противоположное, то
a
1
Pa
2
.
Если a
3
Pa
2
, то S
2
есть почти решающая группа для через (a
3
,a
2
) в силу IIA, что противоречит
определению S.
Если, напротив, a
2
Pa
3
или a
2
∼
a
3
, то требование транзитивности для P влечет, что a
1
Pa
3
;
тогда S
1
почти решающая группа для (a
1
,a
3
) в силу IIA, что противоречит определению S, что и
требовалось доказать.
ЛЕММА 2. Если при предпосылках PP,UD и IIA существует агент j, который является почти
решающим для упорядоченной пары состояний общества, j должен быть диктатором.
Доказательство.
Утверждение 1. (statement 1)
Пусть (a
1
,a
2
), a
1
∈A, a
2
∈A, такая пара состояний общества, для которой j является почти
решающим. Рассмотрим тройку состояний общества (a
1
,a
2,
a
3
). Тогда j является решающим для (a
1
,
a
3
) и (a
3
,a
2
).
Выберем такой профиль предпочтений, что
a
1
P
j
a
2
P
j
a
3
a
2
P
i
a
1
и a
2
P
i
a
3
∀i≠j.
Так как j является почти решающим для (a
1
,a
2
), то a
1
Pa
2
.
Из PP следует, что a
2
P a
3
.
В силу транзитивности, a
1
P a
3
.
Таким образом, a
1
P a
3
независимо от предпочтений агентов i≠j относительно (a
1
,
a
3
).
При этом a
1
P a
3
не зависит от ранжирования (a
1
,a
2
) и (a
2,
a
3
) в силу IIA.
Следовательно, a
1
P a
3
вне зависимости от предпочтений агентов i≠j.
То есть является решающим для (a
1
,
a
3
):
),(
31
aaD
j
.
Аналогично, поменяв роли (a
1
,a
2
) и (a
3
, a
1
) и выбрав подходящий профиль в силу UD,
можно показать, что j − решающий для (a
3
, a
2
), то есть ),(
23
aaD
j
.
Иначе говоря, для трех состояний общества, a
α
,a
β,
a
γ
, мы имеем:
→
βγ
γα
βα
),(
),(
),(
1.
aaD
aaD
aaD
j
j
st
j
. 
         Рассмотрим профиль (существующий в силу UD):
         Для i∈S1 a1Pia2Pia3
         Для j∈S2 a3Pja1Pja2
         Для k∈S1 a2Pka3Pka1.
         Так как S почти решающее для (a1,a2) и так как a1 предпочитается a2 любым агентом из S, и
так как любой агент, не входящий в S, предпочитает противоположное, то
         a1Pa2.
         Если a3Pa2, то S2 есть почти решающая группа для через (a3,a2) в силу IIA, что противоречит
определению S.
         Если, напротив, a2Pa3 или a2∼a3 , то требование транзитивности для P влечет, что a1Pa3;
тогда S1 почти решающая группа для (a1,a3) в силу IIA, что противоречит определению S, что и
требовалось доказать.


         ЛЕММА 2. Если при предпосылках PP,UD и IIA существует агент j, который является почти
решающим для упорядоченной пары состояний общества, j должен быть диктатором.
         Доказательство.
         Утверждение 1. (statement 1)
         Пусть (a1,a2), a1∈A, a2∈A, такая пара состояний общества, для которой j является почти
решающим. Рассмотрим тройку состояний общества (a1,a2, a3). Тогда j является решающим для (a1,
a3) и (a3,a2).
         Выберем такой профиль предпочтений, что
         a1Pja2Pja3
         a2Pia1 и a2Pia3 ∀i≠j.
         Так как j является почти решающим для (a1,a2), то a1Pa2.
         Из PP следует, что a2P a3.
         В силу транзитивности, a1P a3.
         Таким образом, a1P a3 независимо от предпочтений агентов i≠j относительно (a1, a3).
         При этом a1P a3 не зависит от ранжирования (a1,a2) и (a2, a3) в силу IIA.
         Следовательно, a1P a3 вне зависимости от предпочтений агентов i≠j.
         То есть является решающим для (a1, a3): D j (a1 , a3 ) .
         Аналогично, поменяв роли (a1,a2) и (a3, a1) и выбрав подходящий профиль в силу UD,
можно показать, что j − решающий для (a3, a2), то есть D j (a3 , a 2 ) .

         Иначе говоря, для трех состояний общества, aα,aβ, aγ, мы имеем:
                           D j (a α , a γ )
                         st .1
          D ( a α , aβ ) → j
             j
                                              .
                            D (a γ , aβ )

                                                                                                     67

Страницы