Экономика общественного сектора. Шкребела Е.В. - 86 стр.

   где U ′ > 0, U ′′ < 0 и через F (x) обозначено распределение x при x> −1.
   Условия первого порядка зависят от ограничений, накладываемых на a. Предположим, что
можно как занимать, так и давать взаймы с гарантированной нормой доходности, но a не может быть
меньше нуля. Иначе говоря, индивидуум не может выпускать рисковые ценные бумаги или не
допускаются продажи с коротких позиций. Условие первого порядка для максимизации ожидаемой
полезности тогда имеют вид:
    ∂
       E (U ) = E[U ′( A) ⋅ ( x − r )] = 0
    ∂a
   или
    E[U ′( A) ⋅ ( x − r )] < 0 и a = 0 .
   Предпосылки, что индивидуум не склонен к риску ( U ′′ < 0 ), достаточно, чтобы гарантировать,
что условие второго порядка выполняется. Так как U ′( A) не зависит от x при a=0 , мы можем видеть
из условия первого порядка, что угловое решение (a=0) возникает только тогда, когда ожидаемая
доходность рискового актива ( E ( x) ≡ x ) ниже доходности безрискового актива. Далее рассмотрим
внутренне решение, которое возникает, когда x > r и степень несклонности к риску конечна.
   Для иллюстрации можно рассмотреть квадратичную функцию полезности
                      2
    U ( A) = bA − A           ,
                          2
         где b > 0 и A > b . Эту функцию рассматривали Тобин в 1958 году; Марковиц в 1959 году и
Хикс в 1962году. Условие первого порядка для внутреннего решения:
         E[(b − A)( x − r )] = 0
   или
    E{[b − A0 (1 + r ) − aA0 ( x − r )]( x − r )} = 0
   или
    aA0 E[( x − r ) 2 ] = [b − A0 (1 + r )]( x − r )
   Отсюда видно, что спрос на рисковый актив (aA0) является линейной функцией по богатству (A0),
причем убывающей при x > r . Однако в данном примере рисковый актив является инфериорным
благом, что маловероятно в реальности, это результат исплоьзования квадратичной функции
полезности, как показано Эрроу в 1965 году.
   Функции полезности могут быть более правдоподобными, но те из них, для которых спрос также
является линейной функцией, выглядят следующим образом.
       Для получения наглядной интерпретации модели рассмотрим случай с двумя состояниями
природы:
   Состояние (1). Доходность рискового актива, чем безрискового: (x1>r).
   Состояние (2). Доходность безрискового актива, чем рискового: (x2