Теория измерений: уравнения, модели, оценивание точности. Шлыков Г.П. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

68
если воспользоваться формулой Тейлора, в которую входят
производные второй и более высоких степеней
()()
(
)
(
)
(
)
...
n
xfxfxf
xfxf
n
x
n
xxx
+ε+ε
′′
+ε
′
+=ε+
!
...
!2!1
2
Сумму членов второй и высших степеней будем считать
погрешностью (ошибкой) модели. Формула Тейлора позволяет
оценить эту ошибку.
Переходя к предельным погрешностям, получим форму-
лу:
()
xxy
dx
dy
xf ∆=∆
′
=∆
.
Здесь и ранее погрешность рассматривается в конкрет-
ной точке диапазона х, поэтому и первая производная определя-
ется в этой же точке.
Формула предельной относительной погрешности имеет
вид:
(
)
()
x
y
y
x
xf
xf
y
δδ
′
=
∆
= .
Из формулы видно, что относительная погрешность
функции пропорциональна логарифмической производной
функции
()
(
)
()
xf
xf
y
y
yln
′
=
′
=
′
.
Логарифмирование с последующим дифференцировани-
ем является распространенным приемом.
Пример.
Получен результат измерения х с некоторой погрешностью.
Требуется вычислить функцию у=х
n
и определить погрешность функ-
ции.
Предельная абсолютная погрешность определяется выражени-
ем:
xnxx
dx
dy
у
n
∆=∆=∆
−1
,
а предельная относительная -
xny δ=δ
. 
если воспользоваться формулой Тейлора, в которую входят
производные второй и более высоких степеней
                                   f ′( x )      f ′′( x ) 2        f n (x ) n
         f (x + ε x ) = f (x ) +            εx +          ε x + ...         ε x + ...
                                     1!             2!                n!

       Сумму членов второй и высших степеней будем считать
погрешностью (ошибкой) модели. Формула Тейлора позволяет
оценить эту ошибку.
       Переходя к предельным погрешностям, получим форму-
лу:
                                                     dy
                            ∆ y = f ′( x ) ∆ x =        ∆x .
                                                     dx
        Здесь и ранее погрешность рассматривается в конкрет-
ной точке диапазона х, поэтому и первая производная определя-
ется в этой же точке.
        Формула предельной относительной погрешности имеет
вид:
                                     ∆y         f ′(x )
                            δy =            =           x δx .
                                      y         f (x )
      Из формулы видно, что относительная погрешность
функции пропорциональна логарифмической производной
функции
                                            y′ f ′( x )
                              (ln y )′ =      =         .
                                            y   f (x )
       Логарифмирование с последующим дифференцировани-
ем является распространенным приемом.
       Пример.
       Получен результат измерения х с некоторой погрешностью.
Требуется вычислить функцию у=хn и определить погрешность функ-
ции.
       Предельная абсолютная погрешность определяется выражени-
ем:
             dy
       ∆у =      ∆ x = nx n −1 ∆ x ,
              dx
а предельная относительная -
        δy = n δx .
                                       68

Страницы