Теория измерений: уравнения, модели, оценивание точности. Шлыков Г.П. - 87 стр.

                 ∞                                                  b
                                                      1
      f Σ (ε ) = ∫ f1 (ε − ε 2 ) ⋅ f 2 (ε 2 )dε 2 =          f1 (ε − ε 2 )dε 2 =
                 −∞
                                                    b − a ∫a

                         1 ⎡                                              ⎤
                                b                     a
                     =        ⎢ ∫ f1 (ε − ε 2 )dε 2 − ∫ f1 (ε − ε 2 )dε 2 ⎥ .
                       b − a ⎣⎢−∞                    −∞                   ⎦⎥
          Проведем некоторые математические преобразования:
b                             b −ε                         −b+ε                      ∞

∫    f1 (ε − ε 2 )dε 2 =       ∫     f1 (− ε 2 )dε 2 = −    ∫   f1 (− ε 2 )dε 2 =     ∫ f1 (ε 2 )dε 2
−∞                            −∞                            ∞                       −b + ε
                                                    .
       Каждое преобразование следует из свойств определен-
ного интеграла, подробно рассмотренных в курсе математики.
       Полученный интеграл разобьем на два:
                       ∞                       ∞                     −b+ε

                       ∫ f1 (ε 2 )dε 2 = ∫ f1 (ε 2 )dε 2 − ∫ f1 (ε 2 )dε 2 .
                     −b + ε                    −∞                       −∞
       По определению для нормированной плотности вероят-
ности площадь под кривой равна единице:
                          P [-∞<ε<∞]=1.
       Поэтому первый интеграл равен единице.
       Второй интеграл представляет собой интегральную
функцию распределения. Из теории вероятностей следует:
                                          dF ( x )
                                                                             x
                f ( x ) = F ′( x ) =
                                           dx
                                                                                 ( )
                                                   , отсюда F (x ) = ∫ f x ∗ dx ∗ .
                                                                     −∞
          Следовательно
                 b                            ∞

                 ∫ f1(ε − ε 2 )dε 2 = ∫ f1(ε 2 )dε 2 =1 − F1 (ε − b) .
                −∞                           −b+ε
          Аналогичным образом получим
            α

            ∫ f1 (ε − ε 2 )dε =1 − F1 (ε − α )
           −∞
       Таким образом, композиция любого закона и равномер-
ного имеет вид:
                                                  87