Кинематика. Шорохов А.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Найдем ускорение материальной точки, воспользовавшись его опреде-
лением:
⃗w =
d⃗v
dt
=
d
dt
(⃗τv) = ⃗τ
dv
dt
+
d⃗τ
dt
v. (15)
Покажем, что вектор d⃗τ/dt ортогонален вектору ⃗τ и найдем его абсо-
лютное значение.
Da
0
Df
a
0
a
0
Рис. 4. Поворот единичного вектора
Для этого рассмотрим произвольный
единичный вектор ⃗a
0
, направление которого
меняется с течением времени. Так как нор-
ма вектора ⃗a
0
равна единице, то справедливо
соотношение ⃗a
0
2
= ⃗a
0
⃗a
0
= 1. Продифферен-
цируем обе части данного тождества по вре-
мени. В результате получим
2⃗a
0
d⃗a
0
dt
= 0. (16)
Отсюда следует, что векторы ⃗a
0
и d⃗a
0
/dt взаимно ортогональны. Теперь пусть
за время ∆t вектор ⃗a
0
повернулся на угол ∆φ (рис. 4).
Считая угол поворота ∆φ малым, получим (см. рис. 4)
∆⃗a
0
2
= a
0
sin
∆φ
2
≈
∆φ
2
. (17)
Следовательно, |∆⃗a
0
| ≈ ∆φ. Разделим обе части данного соотношения
на ∆t и устремим ∆t к нулю ∆t → 0. Тогда получим
d⃗a
0
dt
=
dφ
dt
= ω, (18)
где ω = dφ/dt – угловая скорость вращения вектора ⃗a
0
.
Вернемся к нашей задаче. Из приведенного выше доказательства сле-
дует, что
d⃗τ
dt
= ⃗nω, (19)
где ⃗n – вектор главной нормали к траектории движения точки, лежащий (как
и вектор ⃗τ) в соприкасающейся плоскости [2] (рис. 5).
9
      Найдем ускорение материальной точки, воспользовавшись его опреде-
лением:
                                d⃗v  d            dv d⃗τ
                           w
                           ⃗=       = (⃗τ v) = ⃗τ    + v.                    (15)
                                dt   dt           dt  dt
      Покажем, что вектор d⃗τ /dt ортогонален вектору ⃗τ и найдем его абсо-
лютное значение.
                                           Для этого рассмотрим произвольный
                                     единичный вектор ⃗a0 , направление которого
                         Da0
                                     меняется с течением времени. Так как нор-
          a0                         ма вектора ⃗a0 равна единице, то справедливо
               Df                    соотношение a⃗0 2 = a⃗0⃗a0 = 1. Продифферен-
                    a0               цируем обе части данного тождества по вре-
                                     мени. В результате получим
Рис. 4. Поворот единичного вектора                         d⃗a0
                                                    2⃗a0        = 0.         (16)
                                                            dt
Отсюда следует, что векторы a⃗0 и da⃗0 /dt взаимно ортогональны. Теперь пусть
за время ∆t вектор ⃗a0 повернулся на угол ∆φ (рис. 4).
      Считая угол поворота ∆φ малым, получим (см. рис. 4)

                               ∆⃗a0          ∆φ ∆φ
                                    = a0 sin    ≈   .                        (17)
                                2             2   2

      Следовательно, |∆⃗a0 | ≈ ∆φ. Разделим обе части данного соотношения
на ∆t и устремим ∆t к нулю ∆t → 0. Тогда получим

                                   d⃗a0   dφ
                                        =    = ω,                            (18)
                                    dt    dt

где ω = dφ/dt – угловая скорость вращения вектора ⃗a0 .
      Вернемся к нашей задаче. Из приведенного выше доказательства сле-
дует, что

                                     d⃗τ
                                         = ⃗nω,                              (19)
                                     dt
где ⃗n – вектор главной нормали к траектории движения точки, лежащий (как
и вектор ⃗τ ) в соприкасающейся плоскости [2] (рис. 5).

                                                                                9

Страницы