Кинематика. Шорохов А.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

n
t
V
M
Соприкасающаяся
плоскость
Рис. 5. Соприкасающаяся плоскость.
Таким образом, движение ма-
териальной точки можно предста-
вить в виде поступательного движе-
ния вдоль касательной со скоростью
v и мгновенного вращения с угловой
скоростью ω, которую можно выра-
зить через радиус кривизны траекто-
рии и абсолютную скорость матери-
альной точки:
ω = 2πν =
2πv
2πρ
=
v
ρ
. (20)
Здесь ρ – радиус кривизны траектории, совпадающий с радиусом соприка-
сающейся окружности в данной точке кривой, ν – частота движения при
равномерном движении точки по окружности.
Формулу (19) можно переписать в следующем виде:
d⃗τ
dt
= ⃗ω ×⃗τ, (21)
если заметить, что векторы ⃗τ и ⃗n ортогональны, а вектор ⃗ω перпендикулярен
мгновенной плоскости вращения.
С учетом вышесказанного перепишем ускорение (15) в следующем виде:
⃗w = ⃗τ
dv
dt
+ ⃗n
v
2
ρ
= ⃗w
τ
+ ⃗w
n
. (22)
n
t
V
M
w
t
w
n
w
Рис. 6. Ускорение при криволинейном движе-
нии
Формула (22) выражает тео-
рему Гюйгенса: ускорение точки
при криволинейном движении рав-
но геометрической сумме тангенци-
ального ускорения ⃗w
τ
и нормального
ускорения ⃗w
n
. Тангенциальное уско-
рение характеризует быстроту изме-
нения величины модуля скорости, а
нормальное – быстроту изменения направления скорости. При этом танген-
циальное ускорение направлено по касательной к траектории (если w
τ
> 0,
то ⃗w
τ
↑↑ ⃗v, если w
τ
< 0, то ⃗w
τ
↑↓ ⃗v), а нормальное – вдоль вектора главной
нормали к центру кривизны траектории (рис. 6).
10
     Таким образом, движение ма-
териальной точки можно предста-                                 V
вить в виде поступательного движе-            M t
ния вдоль касательной со скоростью                          Соприкасающаяся
                                                       n       плоскость
v и мгновенного вращения с угловой
скоростью ω, которую можно выра-
зить через радиус кривизны траекто-
рии и абсолютную скорость матери-          Рис. 5. Соприкасающаяся плоскость.
альной точки:
                                       2πv  v
                           ω = 2πν =       = .                                (20)
                                       2πρ ρ
Здесь ρ – радиус кривизны траектории, совпадающий с радиусом соприка-
сающейся окружности в данной точке кривой, ν – частота движения при
равномерном движении точки по окружности.
     Формулу (19) можно переписать в следующем виде:
                                  d⃗τ
                                       ⃗ × ⃗τ ,
                                      =ω                                (21)
                                  dt
если заметить, что векторы ⃗τ и ⃗n ортогональны, а вектор ω
                                                          ⃗ перпендикулярен
мгновенной плоскости вращения.
     С учетом вышесказанного перепишем ускорение (15) в следующем виде:
                               dv     v2
                        w
                        ⃗ = ⃗τ    + ⃗n = w
                                         ⃗τ + w
                                              ⃗ n.                            (22)
                               dt     ρ
     Формула (22) выражает тео-
рему Гюйгенса: ускорение точки
                                                                    wt
при криволинейном движении рав-                             V
                                                M t
но геометрической сумме тангенци-                                   w
                                                   n
ального ускорения w
                  ⃗ τ и нормального
                                                       wn
ускорения w
          ⃗ n . Тангенциальное уско-
рение характеризует быстроту изме-
                                   Рис. 6. Ускорение при криволинейном движе-
нения величины модуля скорости, а нии
нормальное – быстроту изменения направления скорости. При этом танген-
циальное ускорение направлено по касательной к траектории (если wτ > 0,
   ⃗ τ ↑↑ ⃗v , если wτ < 0, то w
то w                           ⃗ τ ↑↓ ⃗v ), а нормальное – вдоль вектора главной
нормали к центру кривизны траектории (рис. 6).

10

Страницы